🚀 Função Modular– Parte 5:

 Aplicações em Problemas e Contextos

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🧠 Revisando rapidamente:

Sabemos que:

$$|x - a|$$

representa a distância entre x e a na reta real. Essa é a base para aplicar o módulo em situações concretas.

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📏 1. Distância na reta real

O módulo é usado para calcular a distância entre dois pontos na reta.

Exemplo:

Qual a distância entre os números $2$ e $7$?

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

Outro exemplo:

Qual a distância entre $x$ e o número $3$?

$$|x - 3|$$

Essa expressão ainda não tem valor numérico, mas representa a distância entre x e 3.

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🕒 2. Problemas com tempo e deslocamento

Exemplo:

Um trem parte de uma estação às 14h. A função $f(t) = |t - 14|$ representa o número de horas desde a partida.
Quanto tempo se passou às 13h e às 16h?

• $f(13) = |13 - 14| = 1$ hora

• $f(16) = |16 - 14| = 2$ horas

🔹 O módulo permite trabalhar antes e depois do ponto de referência.

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🎯 3. Problemas de mínimo e máximo

Exemplo:

Um produto deve ser mantido a 20°C com uma variação máxima de 2°C. Qual a condição matemática para a temperatura $T$ estar aceitável?

$$|T - 20| \leq 2$$

🔹 Essa inequação representa a faixa de controle:

$$18 \leq T \leq 22$$

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📊 4. Gráficos com contexto

Exemplo:

A função $f(x) = |x - 3|$ representa o custo para estacionar em um local que cobra com base na distância em quilômetros até um ponto fixo (x = 3).
O gráfico terá vértice no ponto (3, 0) e crescerá dos dois lados.

Esse tipo de problema aparece em provas com gráficos de custo, tempo, movimento etc.

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🧪 Questões práticas (estilo vestibular)

Questão 1:

A função $f(x) = |x - 5|$ representa o erro na medição de uma peça em relação ao tamanho ideal de 5 cm.
Para que o erro seja menor que 0,5 cm, qual inequação representa isso?

$$|x - 5| < 0{,}5$$

🔹 Resolvendo:

$$4{,}5 < x < 5{,}5$$

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Questão 2:

Uma cidade fica localizada no km 0 de uma estrada. Um radar mede a distância de um carro à cidade pela função $d(t) = |t - 10|$, onde $t$ é o tempo em minutos.
Qual a distância do carro ao km 0 no instante $t = 7$?

$$d(7) = |7 - 10| = 3 \text{ km}$$

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🧪 Desafios:

1. Um aluno precisa chegar à escola às 7h. A função $A(t) = |t - 7|$ indica seu atraso. Qual o valor de $A(6{,}45)$ e $A(7{,}20)$?

2. Para manter a pressão ideal de um sistema em 100 psi, a variação não pode ultrapassar 3 psi. Escreva a inequação que representa isso.

3. Um número $x$ deve estar a mais de 2 unidades de distância de 5. Escreva a condição matemática.

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🧭 Dica final:

Sempre que o problema envolver distância, diferença, atraso, tolerância ou margem de erro, pense em usar módulo.
Ele é o jeito mais eficiente de representar variação simétrica em torno de um ponto.

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Exercícios - Equações Logarítmicas

1 - Resolva as equações:

    a) log_½ (log₉ x) = 1
Solução:

     b) log₃ ( 2x - 1) = 4
Solução:

2 - Resolva a equação log₂ [log_x (x + 2)] = 1

Solução:

3 - Dê o conjunto solução da equação log₂ (-x² + 6x) = 3.

Solução: x' = 2 e x" = 4
             S = {2,4}

4 - Resolva a equação log₂ (x - 1) + log₂ (x - 2) = 1

Solução: x' = 0 (não convém) e x" = 3
               V = {3}

5 - Qual é o conjunto verdade de log_x (3x + 4) = log_x (4x + 2)?

Solução: x = 2
               V = {2}

6 - Resolva o sistema ⌈ 2. log₂ x - log₂ y = 4
                                ⌊ x√y = 2⁶

Solução: x = 16 , y = 16
S = { 16,16}

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Exercícios Propostos

Exercícios Propostos

1) Sendo logb a= 4 e logb c = 1, encontre o valor de x:

a) log_b (a.c) = x

b) log_b ( a c ) = x

c) log_b (a.c)² = x

d) log_b (√a.c) = x

2) Determine o valor de x

a) log₃  81 = x

b) log₂  ( 1 32 ) = x

c) log _¼  2√2 = x

d) log_√8 (4) = x

e) log₂₅ 0,2 = x

f) log₂  ³√64 = x

Gabarito:
1) a) 5;  b) 3;    c) 10;    d) 2,5
2) a) 4,  b) -5;  c) -3/4;  d) 4/3;  e) -1/2; f) 2

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Exercícios de Funções e Inequações Exponencial

Exponenciais

Exercícios de Funções e Inequações Exponencial

Resolvendo a seguinte equação

a) a ^{4x - 1} >  a ^{2𝑥 + 1}    Sendo a > 1
 Solução:
               a ^{4x - 1} >  a ^{2𝑥 + 1}   como as base já estão igualadas e maior que 1 teremos mantemos
o valor da desigualdade.

 ^{Teremos:  4x - 1 > 2x + 1}  
                 4x - 2x > 1 + 1 ⇒  2x > 2
              
Onde teremos:  x  > 1

b) (FGV-SP) seja a um número maior que 1. Nestas condições, qual é o conjunto solução 

da inequação  a ^{(x³ - 1)} ≤  a ^{(𝑥² - 1)} ?

Solução: Como a > 1, podemos tomar os expoentes e manter o valor da igualdade

Portanto: (x³ - 1) ≤  ( x² + 1)  ⇒      x³ - x² ≤  1 - 1
                                                   x² (x - 1)  ≤  0

para x² ≤  0
 +++++++(0)++++++++++++++
para x-1:
- - - - - - - - - - - (1)+ + + + + +
Então o 0 e o 1 são as raízes.
fazendo o estudo dos sinais encontramos:

Portanto: V = { x ∈ IR / x ≤ 1}

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Exercícios de Funções e Inequações Exponencial

Exponenciais

Exercícios de Funções e Inequações Exponencial

       1ª) Em uma indústria, um funcionário recém-contratado produz menos que um operário experiente. A função que descreve o número de peças produzidas diariamente por um trabalhador da metalúrgica MetalCamp é:

em que t é o tempo de experiência no serviço, em semanas.

1. Determine quantas peças um operário recém-contratado produz diariamente.

2. Trace o gráfico de p(t), supondo que t varia de 0 a 30 semanas.

3. Determine a assíntota horizontal do gráfico e explique o que ela representa.

Solução:

1. O número de peças produzidas diariamente por um novato na indústria é

 2. O gráfico de p é dado na Figura 5.17. Note que, nesse caso, a função é crescente.

3. Como mostra a Figura acima, o gráfico de p tem uma assíntota horizontal em y = 180. Esse valor é um limite superior para o número de peças que um trabalhador consegue produzir diariamente.

      2ª) Lício pegou um empréstimo bancário de R$ 2500,00, a uma taxa de 5% ao mês. 

a) Escreva a função que fornece o quanto Lício deve em um determinado mês t, contado a partir da data do empréstimo, supondo que ele não tenha condições de saldar nem mesmo parte da dívida. 

b) Determine a dívida acumulada após 12 meses da data do empréstimo.

     3ª) Em uma placa de Petri, uma cientista criou uma cultura de bactérias que contava inicialmente com 600 bactérias. Observando a cultura, a cientista notou que o número de bactérias crescia 50% a cada hora. 

a) Escreva a função que fornece o número de bactérias em função do tempo t, em horas, decorrido desde a criação da cultura. 

b) Determine a população de bactérias após 3, 6 e 12 horas. 

    4ª) A concentração de CO₂ na atmosfera vem sendo medida desde 1958 pelo Observatório de Mauna Loa, no Havaí. Os dados coletados mostram que, nos últimos anos, essa concentração aumentou, em média, 0,5% por ano. É razoável supor que essa taxa anual de crescimento da concentração de CO₂ irá se manter constante nos próximos anos. 

a) Escreva uma função C(t) que forneça a concentração de CO₂ na atmosfera em relação ao tempo t, dado em anos. Considere como instante inicial – ou seja, aquele em que t = 0 – o ano de 2004, no qual foi observada uma concentração de 377,4 ppm de CO₂ na atmosfera. 

b) Determine a concentração de CO₂ em 2010.

    5ª) O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, é T(t) = (T₀ − T_ext) ⋅ 10^−t/4 + T_ext, em que T₀ é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e Text é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que T₀ = 21ºC e T_ext = 30ºC, 

a) escreva a expressão de T(t) para esse problema; 

b) calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar condicionado;
c) esboce o gráfico de T(t).

Respostas dos Exercícios
 2) a) D(t) = 2500 ⋅ 1,05^t
     b) R$ 4489,64

3) a) P (t) = 600 ⋅ 1,5^t
    b) Cerca de 2025, 6834 e 77848 bactérias.

4) a) C(t) = 377,4 ⋅ 1,005^t
    b) C(6) ≈ 388,9 ppm

5) a) T(t) = 30 − 9 ⋅ 10^−t/4
     b) 29,1 ºC

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Exercícios - Estatística

Estatística

Exercícios

1)

(Enem 2011) Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se

eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global.

Eram três alternativas possíveis e 279 internautas responderam à enquete,

como mostra o gráfico.

Analisando os dados do gráfico,

quantos internautas respond-

eram “Não” à enquete?

a) Menos de 23.

b) Mais de 23 e menos de 25.

c) Mais de 50 e menos de 75.

d) Mais de 100 e menos de 190.

e) Mais de 200.

2)

(Enem 2010) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para a classi-

ficação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação

igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor

da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos

obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média,

a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.

Matemática

Português

Conhecimentos Gerais

Média

Mediana

Desvio Padrão

MARCO

14

15

16

15

15

0,32

PAULO

8

19

18

15

18

4,97

O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no

concurso, é

a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.

b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.

c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português

d) Paulo, pois obteve maior mediana.

e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.

3)

(Enem 2005) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior

do que se imagina, como mostra a pesquisa a seguir, realizada com os jogadores

profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.

De acordo com esses dados, o percentual dos

jogadores dos quatro clubes que concluíram

o Ensino Médio é de aproximadamente:

a) 14%.

b) 48%.

c) 54%.

d) 60%.

e) 68%.

Estatística

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