Logaritmo

Logaritmo

1. Conceito

Dados os números reais positivos a e b, com a ≠ 1, se

b = a_c, então c chama-se logaritmo de b na base a:

Log_a b = c  ↔  a_c = b

       Vamos tomar como exemplo a igualdade: 3⁴ = 81, onde o número 3 é  a base, o número 4 é o exponente, e o número 81 é a potência A operação que associa os números 3 e 4 (base e expoentes respectivamente) ao número 8 chama-se potenciação.

Podemos considerar que dessa operação derivam duas outras operações.

Observe as seguintes questões:

1ª) Sendo conhecido os valores da potência e do expoente, podemos encontrar o valor da base x.

x⁴ = 81 

Tomando a seguinte notação para esta operação.

⁴√ 81 = x, onde x = 3, pois 3⁴ = 81

A operação usada chama-se radiciação.

2ª) Sendo conhecida a potência e a base, encontra-se o valor do expoente x, ou seja:

3^x = 81

Tomando a seguinte notação para esta operação.

Log₃ 81 = x , onde x = 4 pois 3⁴ = 81

 A operação é denominada logaritmação e o expoente x, logaritmo.

Condição de Existência dos Logaritmos:

Considerando dois números reais, a e b, positivos com a ≠ 1.

Chamamos logaritmos do número da base a, o expoente c, de forma que a^c =  b.

Ou seja: 

Exemplos:

 a) log₂ 16 = 4, pois se log₂ 16 = x, então:

     2^x = 16 → 2^x = 2¹⁶  → x = 4, portanto log₂ 16 = 4

b) log₃ 243 = 5, pois se log₃ 243 = x, então:
     3^x = 243 → 3^x = 3⁵  → x = 5, portanto log₃ 243 = 5

a) log₆ 6 = 1, pois se log₆ 6 = x, então:
     6^x = 6 → 2^x = 2¹  → x = 1, portanto log₆ 6 = 1

Exercício Resolvido de Logaritmo

1) Calcular o valor de x na igualdade:  log₉ 3√ 27 = x.

Solução:

log₉ 3√ 27 = x → 9^x = 3√ 27  → 3^2x = 3√ 3³ → 3^2x = 3. 3^3/2

        → 3^2x =  3 ^(1 + 3/2)  →  3^2x =  3 ^{(1 + 3/2) 
         →  32x =  3 5/2} 

			2x =		5	→	x =		5	, portanto log9 3√27 =							5
					2				4								4

^{2) Determine o valor de x na igualdade:  log₅ 5√ 5 = x.
Solução:
 log₅ 5√ 5 = x} 

  Teremos portanto:  5^x = 5√ 5  → 5^x = 5¹. 5^1/2

                            → 5^x =  5 ^(1 + 1/2)  →  5^x =  5 ^(3/2)

				X =		3	->	, portanto log5 5√5 =							3
						2									2