Dever de Casa

Feira de ciências

Visitantes

Páginas

Logaritmo (Propriedades Operatórias)







































Logaritmo






























































































3. Propriedades Operatórias


















        Os logaritmos apresentam algumas propriedades que passam a ser fundamental, na simplificação dos cálculos.

Logaritmo de um produto

    O logaritmo de um produto de dois ou mais fatores reais e positivos, de base real, positiva e diferente de 1, é igual à soma dos logaritmos desses fatores, na mesma base.


Essa propriedade pode ser considerada para n fatores reais positivos.


Demostração:
loga m = x   m = ax   
loga n = y    n = ay    
Multiplica-se e 
m . n = ax  ay
m . n = ax + y

Pela definição:

loga (m . n) = x + y  ou loga (m . n) = loga m + loga n 

Logaritmo de um quociente

       O logaritmo de um quociente de dois números reais e positivos de base real, positiva e diferente de 1, é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor na mesma base.
ou Seja:


Demostração:
loga m = x   m = ax   
loga n = y    n = ay    
Dividindo-se ➀ e obtemos:


m = ax m = ax - y
n ay n









Pela definição:


loga m = x – y ou loga m = loga m – loga n
n n



















Logaritmo de uma potência

      Satisfeitas as condições de existência, o logaritmo de uma potência de expoente real é igual a produto desse expoente pelo logaritmo da base dessa potência.


Demostração:
loga nk = x   ax = nk   
loga n = y    ay = n     
Dividindo-se ➀ e ➁ obtemos:

ax = (ay)k  
ax =  ay . k   
x = y . k ou loga nk = k . loga n

    Essas propriedades quando bem usadas nas equações e inequações logarítmicas tornam-se um grande ganho em tempo além de contribuir para o desenvolvimento da criatividade de quem as utiliza.

Exercícios:

1) Determinar o valor de log 6, sabendo que log 2 = a e log 3 = b.

Solução: 
Usando a propriedade de logaritmo de produto.
log 6 = log (2.3) então:
log 6 = log (2.3) = log 2 + log 3
Portanto: log 6 = a + b

2) Se loga b = 1, então calcular loga (a . b)

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto temos:
loga (a . b) =  loga a + loga b
Então: loga (a . b) = 2



















3) Se log2 b - log2 a = 5, então determinar o quociente  b
a
  log2 b - log2 a = 5 
 log2 b = 5 25 = b b = 32
a a a














4) Considerando loga 2 = 0,69 e loga 3 = 1,10, calcular loga 4√12

loga 4√12 = loga 4√2² . 3 
loga (2² . 3)¼ = ¼ loga (2² . 3)     
 ¼ (loga 2² + loga 3) =  ¼  (2 loga 2 + loga 3)
 ¼ ( 2 . o,069 + 1,10) =  ¼ (1,38 + 1,10) = 0,62
Então: loga 4√12 = 0,62

xercícios propostos 



Nenhum comentário:

Postar um comentário