| Logaritmo | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. Propriedades Operatórias | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Os logaritmos apresentam algumas propriedades que passam a ser fundamental, na simplificação dos cálculos.
Logaritmo de um produto
O logaritmo de um produto de dois ou mais fatores reais e positivos, de base real, positiva e diferente de 1, é igual à soma dos logaritmos desses fatores, na mesma base.
Essa propriedade pode ser considerada para n fatores reais positivos.
Demostração:
loga m = x ⇔ m = ax ➀
loga n = y ⇔ n = ay ➁
m . n = ax ay
m . n = ax + y
loga n = y ⇔ n = ay ➁
Multiplica-se ➀ e ➁
m . n = ax + y
Pela definição:
loga (m . n) = x + y ou loga (m . n) = loga m + loga n
Logaritmo de um quociente
O logaritmo de um quociente de dois números reais e positivos de base real, positiva e diferente de 1, é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor na mesma base.
ou Seja:
Demostração:
loga m = x ⇔ m = ax ➀
loga n = y ⇔ n = ay ➁
Pela definição:
Exercícios:
1) Determinar o valor de log 6, sabendo que log 2 = a e log 3 = b.
Solução:
Usando a propriedade de logaritmo de produto.
log 6 = log (2.3) então:
log 6 = log (2.3) = log 2 + log 3
Portanto: log 6 = a + b
2) Se loga b = 1, então calcular loga (a . b)
Aplicando a propriedade do logaritmo do produto temos:
loga (a . b) = loga a + loga b
loga n = y ⇔ n = ay ➁
Dividindo-se ➀ e ➁ obtemos:
| m | = | ax | ⇒ | m | = | ax - y | ||
| n | ay | n | ||||||
| loga | m | = | x – y | ou | loga | m | = | loga m – loga n | ||||||||||
| n | n | |||||||||||||||||
Logaritmo de uma potência
Satisfeitas as condições de existência, o logaritmo de uma potência de expoente real é igual a produto desse expoente pelo logaritmo da base dessa potência.
Demostração:
loga nk = x ⇔ ax = nk ➀
loga n = y ⇔ ay = n ➁
Dividindo-se ➀ e ➁ obtemos:
ax = (ay)k
ax = ay . k
x = y . k ou loga nk = k . loga n
Essas propriedades quando bem usadas nas equações e inequações logarítmicas tornam-se um grande ganho em tempo além de contribuir para o desenvolvimento da criatividade de quem as utiliza.
Exercícios:
1) Determinar o valor de log 6, sabendo que log 2 = a e log 3 = b.
Solução:
Usando a propriedade de logaritmo de produto.
log 6 = log (2.3) então:
log 6 = log (2.3) = log 2 + log 3
Portanto: log 6 = a + b
2) Se loga b = 1, então calcular loga (a . b)
Aplicando a propriedade do logaritmo do produto temos:
loga (a . b) = loga a + loga b
Então: loga (a . b) = 2
log2 b - log2 a = 5
| 3) Se log2 b - log2 a = 5, então determinar o quociente | b | |||||||||||||||||
| a | ||||||||||||||||||
| log2 | b | = | 5 | ⇔ | 25 | = | b | ⇔ | b | = | 32 | ||
| a | a | a | |||||||||||
4) Considerando loga 2 = 0,69 e loga 3 = 1,10, calcular loga 4√12
loga 4√12 = loga 4√2² . 3
loga (2² . 3)¼ = ¼ loga (2² . 3)
¼ (loga 2² + loga 3) = ¼ (2 loga 2 + loga 3)
¼ ( 2 . o,069 + 1,10) = ¼ (1,38 + 1,10) = 0,62
Então: loga 4√12 = 0,62
loga 4√12 = loga 4√2² . 3
loga (2² . 3)¼ = ¼ loga (2² . 3)
¼ (loga 2² + loga 3) = ¼ (2 loga 2 + loga 3)
¼ ( 2 . o,069 + 1,10) = ¼ (1,38 + 1,10) = 0,62
Então: loga 4√12 = 0,62
Ⓔxercícios propostos
