Soma dos Termos de uma PA finita

Progressão aritmética ( PA )

Soma dos Termos de uma PA finita

Consideremos a sequência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).

Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma

dos termos dessa sequência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8,

..., 18,20).

Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+

16+18+20 =110. Mas se tivéssemos de somar 100,

200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso

precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma

PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe:

a 1 +a 10 = 2 + 20 = 22

a 2 +a 9 = 4 + 18 = 22

a 3 +a 8 = 6 + 16 = 22

a 4 +a 7 =8 + 14 = 22

a 5 +a 6 = 10 + 12 = 22

Note, que a soma dos termos equidistantes é constante ( sempre 22 ) e

apareceu exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA, porque

somamos os termos dois a dois). Logo devemos ao invés de somarmos

termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos S 10 =

110 ( soma dos 10 termos ).

E agora se fosse uma progressão de 100 termos como a PA(1, 2, 3, 4, …, 100)

Como faríamos?

Procederemos do mesmo modo. A soma do a 1 com a 100 vale 101 e esta soma

vai se repetir 50 vezes(metade de 100), portanto S 100 = 101 x 50 = 5050.

Então para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro

com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim podemos

escrever:

Exercícios Resolvidos

1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA(2, 6, 10,...).

Resolução:

a 1 = 2

r = a 2 – a 1 = 6 – 2 = 4

Para podemos achar a soma devemos determinar o a n (ou seja, a 50 ):

a 50 = a 1 + 49 r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198

Aplicando a fórmula temos:

S 50 =

(a 1 +a n )

n

=

(2 + 198)

50

=

200 . 25

=

5000

2

2

Progressão aritmética ( PA )

Progressão aritmética 

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Progressão Geométrica