Trigonometria no círculo

Trigonometria no círculo 

    Utilizando os conhecimentos de sen x, cos x e tg x, extraídos do triângulo retângulo, vamos ampliar nosso estudo aplicando esses conceitos em arcos.

Arco e circunferência é um segmento qualquer da circunferência, limitada por dois de seus pontos distintos.

 Medida e um arco

     Consideremos um arco AB e um arco unitário u (não-nulo e de mesmo raio). Ao compararmos o arco AB com o arco u cabe (ao determinarmos quantas vezes o arco u cabe no arco AB), estamos u. 
medindo o comprimento do arco AB na unidade

Na figura, u cabe seis vezes em AB.

Então: med (AB) = 6u

Lemos: a medida do arco AB é igual a seis na unidade u.                               

Unidades

Grau (°)

      Dividimos a circunferência em 360 partes e a cada arco unitário, que corresponde a  1 / 360 da circunferência, chamamos de grau.

      Então, a circunferência mede 360 graus, que indicamos por 360°.

      Os submúltiplos do grau são o minuto (' ) e o segundo ( " ).

      1 grau = 60 minutos                  1° = 60'

      1 minuto = 60 segundos            1' = 60"

Grado (gr)

       Dividimos a circunferência em 400 partes iguais e a cada unitário que corresponde a 1 / 400 da circunferência chamamos de grado.

      Então, a circunferência mede 400 grados, que indicamos por 400 gr

Radiano (rad)

      Radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do raio de circunferência no qual está contido.

       Uma circunferência de raio r = 1 possui como medida 2π  radianos ( 2π rad).

Relação entre as unidades 

Para fazer a conversão entre as unidades, podemos utilizar a relação:

Exemplos:

a) Para converter 120° em x radianos, montamos a regra de três:                                                 

                                                                                                                                                        

180° ---------- π rad                             onde x =  120°π , ou  seja, x = 2π  rad                            

120° ----------   x                                                   180°                          3                                     

                                                                                                                                                        

b) Para converter 5π  rad  em x graus, montamos a regra de três:                                                 

                             4                                                                                                                         

                                                                          5π . 180                                                                 

180° ---------- π rad                          onde x =     4         , ou seja, x = 225°                                  

x      ----------  5π   rad                                          π                                                                         

                        4                                                                                                                               

                                                                                                                                                         

Comprimento de arco

      Considerando uma circunferência com centro O e raio r, um ângulo central AOB de medida γ, em radianos, e correspondente arco AB contido nesse ângulo, podemos estabelecer a seguinte regra de três:

            r   -----------  1

med(AB) -----------  γ

         r         =   1 

  med(AB)       γ

r.γ = med(AB).1

     A medida do ângulo central AOB = γ, em radianos, é determinada pelo quociente entre o comprimento do arco AB e a medida do raio da circunferência que o contém.

r = diâmetro   = 20 cm   = 10 cm
          2                    2

Logo, a medida de γ, em radianos, é obtida por:

γ = med(AB)  ⇒  γ = 20 cm ⇒  γ = 2rad
            r                      10 cm            

Dever de casa