🔄 Matrizes – Parte 3

 

🔄 Matrizes – Parte 3: Matriz Inversa e Sistemas Lineares

🔁 O que é a Matriz Inversa?

A inversa de uma matriz quadrada A é outra matriz A-1 tal que:

A × A-1 = A-1 × A = I

Onde I é a matriz identidade da mesma ordem.

Só existe inversa se:

• A matriz for quadrada (mesmo número de linhas e colunas)
• O determinante for diferente de zero

✅ Como encontrar a inversa de uma matriz 2×2

Se:

A = | a  b |
    | c  d |

Então:

A-1 = (1 / (ad - bc)) × | d  -b |
                                 | -c  a |

🔎 Exemplo:

Dada a matriz:

A = | 2  3 |
    | 1  4 |

1. Calcula o determinante:
   det(A) = 2×4 - 3×1 = 8 - 3 = 5
2. Calcula a inversa:
   A^-1 = (1/5) × | 4 -3 | | -1 2 |
   A^-1 =

     |  4/5  -3/5 |
     | -1/5   2/5 |
     

📘 Aplicação: Resolver sistemas com matriz inversa

Sistema:

2x + 3y = 8
x  + 4y = 10

Forma matricial:

A = | 2  3 |
    | 1  4 |, 

X = | x |
    | y |, 

B = | 8 |
    |10 |

Solução: X = A^-1 × B

Usando A^-1 já calculada:

X = |  4/5  -3/5 |   ×   | 8  |
    | -1/5   2/5 |       |10 |

= | (4×8 - 3×10)/5 |
  | (-1×8 + 2×10)/5 |

= | 2/5 |
  |12/5 |

Resposta: x = 2/5, y = 12/5

❗ Observações:

• Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
• A solução via matriz inversa funciona melhor com sistemas pequenos e bem definidos.

🧪 Pratique:

1. Encontre a inversa de:

   | 1  2 |
   | 3  5 |
   

2. Resolva o sistema usando matriz:

   x + y = 3
   2x - y = 0
   

🧭 Dica final:

Dominar a matriz inversa te ajuda a resolver sistemas lineares de forma compacta e organizada. Use essa ferramenta sempre que a matriz dos coeficientes tiver determinante diferente de zero!

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👉 Próxima aula: Parte 4 – Sistemas Lineares com 3 variáveis e Regra de Cramer