🔄 Matrizes – Parte 3

 

🔄 Matrizes – Parte 3: Matriz Inversa e Sistemas Lineares

🔁 O que é a Matriz Inversa?

A inversa de uma matriz quadrada A é outra matriz A-1 tal que:

A × A-1 = A-1 × A = I

Onde I é a matriz identidade da mesma ordem.

Só existe inversa se:

• A matriz for quadrada (mesmo número de linhas e colunas)
• O determinante for diferente de zero

✅ Como encontrar a inversa de uma matriz 2×2

Se:

A = | a  b |
    | c  d |

Então:

A-1 = (1 / (ad - bc)) × | d  -b |
                                 | -c  a |

🔎 Exemplo:

Dada a matriz:

A = | 2  3 |
    | 1  4 |

1. Calcula o determinante:
   det(A) = 2×4 - 3×1 = 8 - 3 = 5
2. Calcula a inversa:
   A^-1 = (1/5) × | 4 -3 | | -1 2 |
   A^-1 =

     |  4/5  -3/5 |
     | -1/5   2/5 |
     

📘 Aplicação: Resolver sistemas com matriz inversa

Sistema:

2x + 3y = 8
x  + 4y = 10

Forma matricial:

A = | 2  3 |
    | 1  4 |, 

X = | x |
    | y |, 

B = | 8 |
    |10 |

Solução: X = A^-1 × B

Usando A^-1 já calculada:

X = |  4/5  -3/5 |   ×   | 8  |
    | -1/5   2/5 |       |10 |

= | (4×8 - 3×10)/5 |
  | (-1×8 + 2×10)/5 |

= | 2/5 |
  |12/5 |

Resposta: x = 2/5, y = 12/5

❗ Observações:

• Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
• A solução via matriz inversa funciona melhor com sistemas pequenos e bem definidos.

🧪 Pratique:

1. Encontre a inversa de:

   | 1  2 |
   | 3  5 |
   

2. Resolva o sistema usando matriz:

   x + y = 3
   2x - y = 0
   

🧭 Dica final:

Dominar a matriz inversa te ajuda a resolver sistemas lineares de forma compacta e organizada. Use essa ferramenta sempre que a matriz dos coeficientes tiver determinante diferente de zero!

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👉 Próxima aula: Parte 4 – Sistemas Lineares com 3 variáveis e Regra de Cramer

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🧮 Matrizes – Parte 2

Multiplicação e Determinantes

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🔁 Multiplicação de Matrizes

🧠 Regra fundamental:

Você só pode multiplicar duas matrizes se:

$$\text{Número de colunas da 1ª matriz = número de linhas da 2ª matriz}$$

Se:

• $A$ é uma matriz $m \times n$

• $B$ é uma matriz $n \times p$

Então:

• O produto $A \cdot B$ existe e será uma matriz $m \times p$

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📘 Exemplo 1 – Multiplicação 2×2

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

Multiplicação:

$$A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$$

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❌ Atenção:

A multiplicação de matrizes NÃO é comutativa, ou seja:

$$A \cdot B \neq B \cdot A$$

Nem sempre as duas multiplicações são possíveis, e mesmo quando são, os resultados geralmente são diferentes!

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🧾 Determinante de Matrizes

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Ele nos dá informações sobre:

• Se uma matriz é imersível

• Se um sistema linear tem solução única

• Se há dependência entre linhas/colunas

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📐 Determinante de matriz 2×2

Se:

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

Então:

$$\text{det}(A) = ad - bc$$

Exemplo:

$$\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \text{det} = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$$

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📐 Determinante de matriz 3×3 (Regra de Sarrus)

Se:

$$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$

Repita as 2 primeiras colunas ao lado e aplique a Regra de Sarrus:

$$\text{det}(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$

Exemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\text{det} = 1\cdot1\cdot0 + 2\cdot4\cdot5 + 3\cdot0\cdot6 - 3\cdot1\cdot5 - 2\cdot0\cdot0 - 1\cdot4\cdot6$$
$$\text{det} = 0 + 40 + 0 - 15 - 0 - 24 = 1$$

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🧪 Atividades:

1. Calcule:

$$\text{det} \left(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \right)$$

2. Verifique se a multiplicação é possível:

• $A = 2 \times 3$, $B = 3 \times 2$ → ___

• $A = 2 \times 3$, $B = 2 \times 2$ → ___

3. Faça a multiplicação:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$$

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🧭 Dica final:

Dominando multiplicações e determinantes, você está pronto para resolver sistemas lineares, entender matrizes inversas, e até aplicar conceitos em outras disciplinas (física, economia, computação).

👉 No próximo post:

Parte 3 – Inversa de Matrizes e Aplicações em Sistemas Lineares 

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🔢 Matrizes – Parte 1: Conceito, Notação e Operações Básicas

🔢 Matrizes – Parte 1: Conceito, Notação e Operações Básicas

🧠 O que é uma matriz?

Uma matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. Ela é usada para organizar informações e realizar cálculos em diversas áreas: sistemas lineares, transformações geométricas, estatística, programação etc.

🔷 Notação geral

Uma matriz A com m linhas e n colunas é representada por:

A = [aij]m × n

Onde:

• aij representa o elemento da linha i e coluna j
• m = número de linhas
• n = número de colunas

Exemplo:

A = | 1  2  3 |
    | 4  5  6 | → matriz 2 × 3

📏 Tipos de matrizes

• Matriz linha: só tem uma linha (ex: 1 × n)
• Matriz coluna: só tem uma coluna (ex: m × 1)
• Matriz quadrada: número de linhas = colunas
• Matriz diagonal: matriz quadrada com zeros fora da diagonal principal
• Matriz identidade: diagonal com “1” e zeros no restante
• Matriz nula: todos os elementos são zero

➕ Operações básicas

1. Adição e subtração

Somente entre matrizes da mesma ordem:

A + B = [aij + bij]

2. Multiplicação por escalar

Multiplica-se cada elemento da matriz por um número real:

2 × | 1  3 |
    | 2  4 | 
  = | 2  6 |
    | 4  8 |

🧩 Multiplicação de Matrizes (introdução)

Para multiplicar A × B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B.

Exemplo:

A = [1  2],  B = [3]
             [4]

A × B = 1×3 + 2×4 = 11

➡️ Multiplicação completa será aprofundada na Parte 2.

🧪 Pratique:

1. Classifique a matriz:

   M = | 2  -1 |
       | 0   5 |
   

2. Efetue a adição:

   | 1  2 | + | 0  -2 | = ?
   | 3  4 |   | 5   1 |
   

3. Multiplique por 3:

   3 × | -1  0 |
       |  4  2 | = ?
   

🧭 Dica final:

Matrizes não são só "quadros de números" — são ferramentas poderosas na matemática moderna. Comece devagar, compreendendo bem a ordem, a posição dos elementos e as operações básicas.

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👉 Na próxima postagem: Matrizes – Parte 2: Multiplicação entre matrizes e Determinantes

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Algum tipos de matrizes

Algum tipos de matrizes

      Algumas matrizes possuem certas características bem especificas e acabam recebendo nomenclaturas diferenciadas. 

Matriz linha

    É a matriz que possui uma única linha, ou seja, tem ordem 1 x n.
Exemplo:

		C	=	1	2	3	1x3		Lê-se: matriz linha de ordem um por três.

Matriz coluna

    É a matiz que possui uma única coluna, ou seja, tem ordem m x 1.
Exemplo:

				2
		D	=	-4			Lê-se: matriz coluna de ordem três por um.
				5	3x1

Matriz nula

   É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.

				0	0
		D	=	0	0		Lê-se: matriz nula de ordem três por três.
				0	0

Matriz quadrada

    É a matiz que possui o número de linhas iguais o número de colunas. Nesse caso, dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.

		A	=	3	-4
				4	1		Lê-se: matriz quadrada de ordem dois.
				-2	4	2
		B	=	7	6	1	Lê-se: matriz quadrada de ordem três.
				3	-1	0

a

11

a

12

a

13

…

a

1n

Nessa matriz, a diagonal principal é o conjunto dos elementos aij em que i = j, ou seja: {a11,a22,a33, …, ann}

a

21

a

22

a

23

…

a

2n

A

=

a

31

a

32

a

33

…

a

3n

…

…

…

…

…

A diagonal secundária é o conjunto dos elementos aij em que i + j = n + 1.

a

n1

a

n2

a

n3

…

a

nn

diagonal secundária

diagonal principal

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Matrizes

Matrizes

I - Conceito
II - Tipos de matrizes
III- Igualdade de Matrizes
IV - Matriz transposta
V - Adição e subtração de matrizes
VI - Multiplicação de um número real por uma matriz
VII - Multiplicação de matrizes
VIII - Matriz inversa
IX - Equação envolvendo matrizes




                   Conceito simples de matrizes

           Em nosso dia a dia, e comum encontramos varias informações importantes organizadas em forma de filas e ou colunas, com o objetivo de deixar essas informações muitas mais simplificada e organizadas, a este tipo de organização, nomeamos como matrizes.

            As matrizes são amplamente utilizadas em diversas áreas, como na Física, computação, administração e Engenharia.

            Observe o exemplo abaixo:

	BOLETIM ESCOLAR					2019
	DISCIPLINA	1ª	2ª	3ª	4ª	FINAL
	MATEMÁTICA	6,5	7,0	5,0	8,0	6,75
	FÍSICA	7,5	6,0	9,5	7,5	7,5
	BIOLOGIA	8,0	7,5	8,5	6,5	7,75
	PORTUGUÊS	9,5	8,5	9,5	7,5	9
	QUÍMICA	5,0	6,5	7,5	8,0	7

       Podemos representar essa tabela pela seguinte matriz:

		6,5	7,0	5,0	8,0
		7,5	6,0	9,5	7,5
		8,0	7,5	8,5	6,5
		9,5	8,5	9,5	7,5
		5,0	6,5	7,5	8,0

        Como essa matriz possui 5 linhas e 4 colunas, dizemos que é de ordem (ou tipo) 5x4 (lê-se "cinco por quatro). Nela, as linhas correspondem à pontuação em cada disciplina. Nas colunas indicam a pontuação em cada avaliação ou trimestres, a primeira linha por exemplo corresponde a todas as notas alcançadas pelo aluno na disciplina de matemática durante todo o ano letivo, a 2ª coluna corresponde ao seu desempenho em todas a disciplinas na segunda avaliação.

       O elemento da matriz localizada na 2ª linha e 2ª coluna corresponde a nota alcançada pelo aluno nas disciplina de Física na 2ª avaliação ou seja o aluno tirou 6,0 na 2ª avaliação de Física.   

			2ª coluna
		6,5	7,0	5,0	8,0		uma matriz de ordem mxn, com m e n números naturais não nulos, é toda tabla composta por m-n elementos dispostos em m linhas e n colunas.
	2ª linha →	7,5	6,0	9,5	7,5
		8,0	7,5	8,5	6,5
		9,5	8,5	9,5	7,5
		5,0	6,5	7,5	8,0

Exemplos:

. Matriz de ordem 2x3: duas linhas e três colunas.											.Matriz de ordem 1x4: uma linha e quatro colunas.
			3	4	-1										4	-2	1	0
			-2	6	0
. Matriz de ordem 3x2: três linhas e duas colunas.											.Matriz de ordem 2x1: duas linhas e uma coluna.
				-3	4											-23
				0	1											14
				5	-2

    Como costume indicar cada cada matriz com uma letra maiúscula, e dada um de seu elementos com a mesma letra porém minuscula, acompanhada de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento está posicionado. 

	considere o exemplo, a Matriz A =												-3	4	, temos:
													0	1

. elemento da 1ª linha e 1ª coluna: a₁₁ = -3 (lê-se "a um um")
. elemento da 1ª linha e 2ª coluna: a₁₂ = 2 (lê-se "a um dois")
. elemento da 2ª linha e 1ª coluna: a₂₁ = 0 (lê-se "a dois um")
. elemento da 2ª linha e 2ª coluna: a₂₂ = 1 (lê-se "a dois dois")

Representação genérica de uma matriz A de ordem m x n, ou seja m linhas e n colunas,

a

11

a

12

a

13

…

a

1j

…

a

1n

a

21

a

22

a

23

…

a

2j

…

a

2n

a

31

a

32

a

33

…

a

3j

…

a

3n

A =

…

…

…

…

…

a

i1

a

i2

a

i3

…

a

ij

…

a

in

…

…

…

…

…

a

m1

a

m2

a

m3

…

a

mj

…

a

mn

       No elemento a_ij, o índice i indica a linha, e o j, a coluna em que o elemento está localizado. 

       O elemento a₁₃, por exemplo, tem i = 1 e j = 3, ou seja, está localizado na 1ª linha e na 3ª coluna.

       Podemos indicar essa matriz também da seguinte maneira A = (a_ij)_mxm.

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