🧮 Matrizes – Parte 2

Multiplicação e Determinantes

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🔁 Multiplicação de Matrizes

🧠 Regra fundamental:

Você só pode multiplicar duas matrizes se:

$$\text{Número de colunas da 1ª matriz = número de linhas da 2ª matriz}$$

Se:

• $A$ é uma matriz $m \times n$

• $B$ é uma matriz $n \times p$

Então:

• O produto $A \cdot B$ existe e será uma matriz $m \times p$

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📘 Exemplo 1 – Multiplicação 2×2

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

Multiplicação:

$$A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$$

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❌ Atenção:

A multiplicação de matrizes NÃO é comutativa, ou seja:

$$A \cdot B \neq B \cdot A$$

Nem sempre as duas multiplicações são possíveis, e mesmo quando são, os resultados geralmente são diferentes!

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🧾 Determinante de Matrizes

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Ele nos dá informações sobre:

• Se uma matriz é imersível

• Se um sistema linear tem solução única

• Se há dependência entre linhas/colunas

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📐 Determinante de matriz 2×2

Se:

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

Então:

$$\text{det}(A) = ad - bc$$

Exemplo:

$$\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \text{det} = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$$

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📐 Determinante de matriz 3×3 (Regra de Sarrus)

Se:

$$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$

Repita as 2 primeiras colunas ao lado e aplique a Regra de Sarrus:

$$\text{det}(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$

Exemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\text{det} = 1\cdot1\cdot0 + 2\cdot4\cdot5 + 3\cdot0\cdot6 - 3\cdot1\cdot5 - 2\cdot0\cdot0 - 1\cdot4\cdot6$$
$$\text{det} = 0 + 40 + 0 - 15 - 0 - 24 = 1$$

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🧪 Atividades:

1. Calcule:

$$\text{det} \left(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \right)$$

2. Verifique se a multiplicação é possível:

• $A = 2 \times 3$, $B = 3 \times 2$ → ___

• $A = 2 \times 3$, $B = 2 \times 2$ → ___

3. Faça a multiplicação:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$$

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🧭 Dica final:

Dominando multiplicações e determinantes, você está pronto para resolver sistemas lineares, entender matrizes inversas, e até aplicar conceitos em outras disciplinas (física, economia, computação).

👉 No próximo post:

Parte 3 – Inversa de Matrizes e Aplicações em Sistemas Lineares