Matrizes
II - Tipos de matrizes
III- Igualdade de Matrizes
IV - Matriz transposta
V - Adição e subtração de matrizes
VI - Multiplicação de um número real por uma matriz
VII - Multiplicação de matrizes
VIII - Matriz inversa
IX - Equação envolvendo matrizes
Em nosso dia a dia, e comum encontramos varias informações importantes organizadas em forma de filas e ou colunas, com o objetivo de deixar essas informações muitas mais simplificada e organizadas, a este tipo de organização, nomeamos como matrizes.
As matrizes são amplamente utilizadas em diversas áreas, como na Física, computação, administração e Engenharia.
Observe o exemplo abaixo:
| BOLETIM ESCOLAR | 2019 | ||||||||
| DISCIPLINA | 1ª | 2ª | 3ª | 4ª | FINAL | ||||
| MATEMÁTICA | 6,5 | 7,0 | 5,0 | 8,0 | 6,75 | ||||
| FÍSICA | 7,5 | 6,0 | 9,5 | 7,5 | 7,5 | ||||
| BIOLOGIA | 8,0 | 7,5 | 8,5 | 6,5 | 7,75 | ||||
| PORTUGUÊS | 9,5 | 8,5 | 9,5 | 7,5 | 9 | ||||
| QUÍMICA | 5,0 | 6,5 | 7,5 | 8,0 | 7 | ||||
Podemos representar essa tabela pela seguinte matriz:
| 6,5 | 7,0 | 5,0 | 8,0 | ||||
| 7,5 | 6,0 | 9,5 | 7,5 | ||||
| 8,0 | 7,5 | 8,5 | 6,5 | ||||
| 9,5 | 8,5 | 9,5 | 7,5 | ||||
| 5,0 | 6,5 | 7,5 | 8,0 |
Como essa matriz possui 5 linhas e 4 colunas, dizemos que é de ordem (ou tipo) 5x4 (lê-se "cinco por quatro). Nela, as linhas correspondem à pontuação em cada disciplina. Nas colunas indicam a pontuação em cada avaliação ou trimestres, a primeira linha por exemplo corresponde a todas as notas alcançadas pelo aluno na disciplina de matemática durante todo o ano letivo, a 2ª coluna corresponde ao seu desempenho em todas a disciplinas na segunda avaliação.
O elemento da matriz localizada na 2ª linha e 2ª coluna corresponde a nota alcançada pelo aluno nas disciplina de Física na 2ª avaliação ou seja o aluno tirou 6,0 na 2ª avaliação de Física.
| 2ª coluna | |||||||||
| 6,5 | 7,0 | 5,0 | 8,0 | uma matriz de ordem mxn, com m e n números naturais não nulos, é toda tabla composta por m-n elementos dispostos em m linhas e n colunas. | |||||
| 2ª linha → | 7,5 | 6,0 | 9,5 | 7,5 | |||||
| 8,0 | 7,5 | 8,5 | 6,5 | ||||||
| 9,5 | 8,5 | 9,5 | 7,5 | ||||||
| 5,0 | 6,5 | 7,5 | 8,0 | ||||||
Exemplos:
Como costume indicar cada cada matriz com uma letra maiúscula, e dada um de seu elementos com a mesma letra porém minuscula, acompanhada de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento está posicionado.
. elemento da 1ª linha e 1ª coluna: a11 = -3 (lê-se "a um um")
. elemento da 1ª linha e 2ª coluna: a12 = 2 (lê-se "a um dois")
. elemento da 2ª linha e 1ª coluna: a21 = 0 (lê-se "a dois um")
. elemento da 2ª linha e 2ª coluna: a22 = 1 (lê-se "a dois dois")
| . Matriz de ordem 2x3: duas linhas e três colunas. | .Matriz de ordem 1x4: uma linha e quatro colunas. | ||||||||||||||||||||
| 3 | 4 | -1 | 4 | -2 | 1 | 0 | |||||||||||||||
| -2 | 6 | 0 | |||||||||||||||||||
. Matriz de ordem 3x2: três linhas e duas colunas.
|
.Matriz de ordem 2x1: duas linhas e uma coluna.
|
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| -3 | 4 | -23 | |||||||||||||||||||
| 0 | 1 | 14 | |||||||||||||||||||
| 5 | -2 | ||||||||||||||||||||
Como costume indicar cada cada matriz com uma letra maiúscula, e dada um de seu elementos com a mesma letra porém minuscula, acompanhada de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento está posicionado.
| considere o exemplo, a Matriz A = | -3 | 4 | , temos: | ||||||||||||||||||
| 0 | 1 | ||||||||||||||||||||
. elemento da 1ª linha e 1ª coluna: a11 = -3 (lê-se "a um um")
. elemento da 1ª linha e 2ª coluna: a12 = 2 (lê-se "a um dois")
. elemento da 2ª linha e 1ª coluna: a21 = 0 (lê-se "a dois um")
. elemento da 2ª linha e 2ª coluna: a22 = 1 (lê-se "a dois dois")
| Representação genérica de uma matriz A de ordem m x n, ou seja m linhas e n colunas, | ||||||||||||||||||||||||||||||
| a | 11 | a | 12 | a | 13 | … | a | 1j | … | a | 1n | |||||||||||||||||||
| a | 21 | a | 22 | a | 23 | … | a | 2j | … | a | 2n | |||||||||||||||||||
| a | 31 | a | 32 | a | 33 | … | a | 3j | … | a | 3n | |||||||||||||||||||
| A = | … | … | … | … | … | |||||||||||||||||||||||||
| a | i1 | a | i2 | a | i3 | … | a | ij | … | a | in | |||||||||||||||||||
| … | … | … | … | … | ||||||||||||||||||||||||||
| a | m1 | a | m2 | a | m3 | … | a | mj | … | a | mn | |||||||||||||||||||
No elemento aij, o índice i indica a linha, e o j, a coluna em que o elemento está localizado.
O elemento a13, por exemplo, tem i = 1 e j = 3, ou seja, está localizado na 1ª linha e na 3ª coluna.
Podemos indicar essa matriz também da seguinte maneira A = (aij)mxm.
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