Exercícios de Funções e Inequações Exponencial

Exponenciais

Exercícios de Funções e Inequações Exponencial

       1ª) Em uma indústria, um funcionário recém-contratado produz menos que um operário experiente. A função que descreve o número de peças produzidas diariamente por um trabalhador da metalúrgica MetalCamp é:

em que t é o tempo de experiência no serviço, em semanas.

1. Determine quantas peças um operário recém-contratado produz diariamente.

2. Trace o gráfico de p(t), supondo que t varia de 0 a 30 semanas.

3. Determine a assíntota horizontal do gráfico e explique o que ela representa.

Solução:

1. O número de peças produzidas diariamente por um novato na indústria é

 2. O gráfico de p é dado na Figura 5.17. Note que, nesse caso, a função é crescente.

3. Como mostra a Figura acima, o gráfico de p tem uma assíntota horizontal em y = 180. Esse valor é um limite superior para o número de peças que um trabalhador consegue produzir diariamente.

      2ª) Lício pegou um empréstimo bancário de R$ 2500,00, a uma taxa de 5% ao mês. 

a) Escreva a função que fornece o quanto Lício deve em um determinado mês t, contado a partir da data do empréstimo, supondo que ele não tenha condições de saldar nem mesmo parte da dívida. 

b) Determine a dívida acumulada após 12 meses da data do empréstimo.

     3ª) Em uma placa de Petri, uma cientista criou uma cultura de bactérias que contava inicialmente com 600 bactérias. Observando a cultura, a cientista notou que o número de bactérias crescia 50% a cada hora. 

a) Escreva a função que fornece o número de bactérias em função do tempo t, em horas, decorrido desde a criação da cultura. 

b) Determine a população de bactérias após 3, 6 e 12 horas. 

    4ª) A concentração de CO₂ na atmosfera vem sendo medida desde 1958 pelo Observatório de Mauna Loa, no Havaí. Os dados coletados mostram que, nos últimos anos, essa concentração aumentou, em média, 0,5% por ano. É razoável supor que essa taxa anual de crescimento da concentração de CO₂ irá se manter constante nos próximos anos. 

a) Escreva uma função C(t) que forneça a concentração de CO₂ na atmosfera em relação ao tempo t, dado em anos. Considere como instante inicial – ou seja, aquele em que t = 0 – o ano de 2004, no qual foi observada uma concentração de 377,4 ppm de CO₂ na atmosfera. 

b) Determine a concentração de CO₂ em 2010.

    5ª) O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, é T(t) = (T₀ − T_ext) ⋅ 10^−t/4 + T_ext, em que T₀ é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e Text é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que T₀ = 21ºC e T_ext = 30ºC, 

a) escreva a expressão de T(t) para esse problema; 

b) calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar condicionado;
c) esboce o gráfico de T(t).

Respostas dos Exercícios
 2) a) D(t) = 2500 ⋅ 1,05^t
     b) R$ 4489,64

3) a) P (t) = 600 ⋅ 1,5^t
    b) Cerca de 2025, 6834 e 77848 bactérias.

4) a) C(t) = 377,4 ⋅ 1,005^t
    b) C(6) ≈ 388,9 ppm

5) a) T(t) = 30 − 9 ⋅ 10^−t/4
     b) 29,1 ºC

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Inequações exponenciais

Inequações exponenciais

Inequações exponenciais

    As inequações que envolvem funções exponenciais são consideradas inequações

exponenciais. Veja os exemplos:

Na resolução das inequações exponenciais analisamos os casos nos quias:

a > 1

    Quando  função f(x) = a^x apresenta base maior que 1, (a > 1), desprezamos as bases comuns e mantemos o sinal da desigualdade em relação aos expoentes.

Exemplos:

Para determinar o conjunto verdade da inequação 8^x ≤ 64, sendo U = R, inicialmente tornamos as bases iguais:   

            8^x ≤ 64  ⇒ 2^3x ≤ 2⁶

Como a base 2 é maior que 1, mantemos o sinal da desigualdade em relação aos expoentes.

23x ≤ 26  ⇒ 3x ≤ 6  ⇒

x ≤

6

x ≤ 2

V = { x ∈ R| x ≤ 2 }

3

o < a < 1

Quando a função f(x) = a^x  apresenta base maior que zero e menor que 1 ( 0 < a < 1 ), desprezando as base comuns e invertemos o sinal da desigualdade em relação aos expoentes.

Exemplo:

Para determinar o conjunto verdade da inequação

, sendo U = R, observe

que, como a base

1

é maior que 0 e menor que 1 , invertemos o sinal da desigualdade em

3

relação aos expoentes.

V = { X ∈ R | x < 2 }

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Funções exponenciais

Função exponencial – introdução

A função exponencial com base a é definida por

f ( x )

=

a

x

em que a > 0, a ≠ 1 e x é qualquer número real.

A função será crescente quando a base a for maior que 1, e decrescente se a for positiva

e menor que 1. Seu gráfico terá sempre um dos dois seguintes aspectos:

Os dois tipos de gráficos possuem características semelhantes:

1) O gráfico (curva) de uma função exponencial nunca irá interceptar o eixo x, pois esta função

não possui raiz.

2) O gráfico (curva) irá cortar apenas o eixo y e sempre será no ponto 1, sendo que os valores

de y sempre serão positivos.

3) O domínio natural de cada função exponencial é (-∞, + ∞) e a imagem de f(x) = a²  é (0, + ∞) ,

admitindo por suposição que o gráfico de y = ax lacunas ou buracos.

A função exponencial natural (ex ) é utilizada para modelagem de fenômenos naturais, físicos

e econômicos. Sua base é número e, que é 2,718281828 para nove casas decimais.

A função exponencial mais simples é a função y = f0 (x) = ex  . Cada ponto do gráfico é da forma

(x, ex) pois a ordenada é sempre o resultado de ex, ou seja, a exponencial de base e do número x.

O domínio da função y = f0 (x) = ex é R = ] -∞, + ∞ [ e a

imagem é o conjunto R*+ = ] 0, + ∞ [

Estatística

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