🚀 Função Modular– Parte 5:

 Aplicações em Problemas e Contextos

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🧠 Revisando rapidamente:

Sabemos que:

$$|x - a|$$

representa a distância entre x e a na reta real. Essa é a base para aplicar o módulo em situações concretas.

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📏 1. Distância na reta real

O módulo é usado para calcular a distância entre dois pontos na reta.

Exemplo:

Qual a distância entre os números $2$ e $7$?

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

Outro exemplo:

Qual a distância entre $x$ e o número $3$?

$$|x - 3|$$

Essa expressão ainda não tem valor numérico, mas representa a distância entre x e 3.

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🕒 2. Problemas com tempo e deslocamento

Exemplo:

Um trem parte de uma estação às 14h. A função $f(t) = |t - 14|$ representa o número de horas desde a partida.
Quanto tempo se passou às 13h e às 16h?

• $f(13) = |13 - 14| = 1$ hora

• $f(16) = |16 - 14| = 2$ horas

🔹 O módulo permite trabalhar antes e depois do ponto de referência.

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🎯 3. Problemas de mínimo e máximo

Exemplo:

Um produto deve ser mantido a 20°C com uma variação máxima de 2°C. Qual a condição matemática para a temperatura $T$ estar aceitável?

$$|T - 20| \leq 2$$

🔹 Essa inequação representa a faixa de controle:

$$18 \leq T \leq 22$$

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📊 4. Gráficos com contexto

Exemplo:

A função $f(x) = |x - 3|$ representa o custo para estacionar em um local que cobra com base na distância em quilômetros até um ponto fixo (x = 3).
O gráfico terá vértice no ponto (3, 0) e crescerá dos dois lados.

Esse tipo de problema aparece em provas com gráficos de custo, tempo, movimento etc.

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🧪 Questões práticas (estilo vestibular)

Questão 1:

A função $f(x) = |x - 5|$ representa o erro na medição de uma peça em relação ao tamanho ideal de 5 cm.
Para que o erro seja menor que 0,5 cm, qual inequação representa isso?

$$|x - 5| < 0{,}5$$

🔹 Resolvendo:

$$4{,}5 < x < 5{,}5$$

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Questão 2:

Uma cidade fica localizada no km 0 de uma estrada. Um radar mede a distância de um carro à cidade pela função $d(t) = |t - 10|$, onde $t$ é o tempo em minutos.
Qual a distância do carro ao km 0 no instante $t = 7$?

$$d(7) = |7 - 10| = 3 \text{ km}$$

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🧪 Desafios:

1. Um aluno precisa chegar à escola às 7h. A função $A(t) = |t - 7|$ indica seu atraso. Qual o valor de $A(6{,}45)$ e $A(7{,}20)$?

2. Para manter a pressão ideal de um sistema em 100 psi, a variação não pode ultrapassar 3 psi. Escreva a inequação que representa isso.

3. Um número $x$ deve estar a mais de 2 unidades de distância de 5. Escreva a condição matemática.

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🧭 Dica final:

Sempre que o problema envolver distância, diferença, atraso, tolerância ou margem de erro, pense em usar módulo.
Ele é o jeito mais eficiente de representar variação simétrica em torno de um ponto.