⚖️ Função Modular – Parte 4

 Inequações com Módulo

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🧠 O que é uma inequação com módulo?

Uma inequação com módulo envolve expressões do tipo:

$$|A| < B, \quad |A| > B, \quad |A| \leq B, \quad |A| \geq B$$

A ideia é parecida com as equações modulares: você desmembra a expressão para analisar os dois lados possíveis do valor absoluto, mas agora com intervalos.

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🚦 Casos principais

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✅ 1. Caso: $|x| < a$

Quando $a > 0$, temos:

$$|x| < a \quad \Rightarrow \quad -a < x < a$$

Exemplo:

$$|x| < 5 \quad \Rightarrow \quad -5 < x < 5$$

🔹 Intervalo aberto, com dois limites.

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✅ 2. Caso: $|x| \leq a$

$$|x| \leq a \quad \Rightarrow \quad -a \leq x \leq a$$

Exemplo:

$$|x| \leq 3 \quad \Rightarrow \quad -3 \leq x \leq 3$$

🔹 Intervalo fechado (inclui os extremos).

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✅ 3. Caso: $|x| > a$

$$|x| > a \quad \Rightarrow \quad x < -a \quad \text{ou} \quad x > a$$

Exemplo:

$$|x| > 2 \quad \Rightarrow \quad x < -2 \quad \text{ou} \quad x > 2$$

🔹 Solução em duas partes (união de intervalos abertos).

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✅ 4. Caso: $|x| \geq a$

$$|x| \geq a \quad \Rightarrow \quad x \leq -a \quad \text{ou} \quad x \geq a$$

Exemplo:

$$|x| \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq -1 \quad \text{ou} \quad x \geq 1$$

🔹 Solução em duas partes (intervalos fechados).

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❌ Atenção: Se $a < 0$

Se a inequação for com valor negativo no lado direito, o módulo nunca será menor que zero, pois:

$$|x| \geq 0 \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}$$

Então:

• $|x| < -1$ → ❌ Sem solução

• $|x| > -1$ → ✅ Solução: todos os reais ($\mathbb{R}$)

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🧪 Exemplos resolvidos

Exemplo 1:

$$|x - 3| < 2$$

Passo 1: Retira o módulo com desigualdade dupla:

$$-2 < x - 3 < 2$$

Passo 2: Soma 3 em todos os membros:

$$1 < x < 5$$

Solução: Intervalo aberto: $(1, 5)$

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Exemplo 2:

$$|2x + 1| \geq 3$$

Passo 1: Dois casos:

$$2x + 1 \leq -3 \quad \text{ou} \quad 2x + 1 \geq 3$$

Passo 2: Resolve as duas:

• $2x \leq -4 \Rightarrow x \leq -2$

• $2x \geq 2 \Rightarrow x \geq 1$

Solução: $x \leq -2 \quad \text{ou} \quad x \geq 1$

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🧪 Pratique:

1. Resolva:

   • $|x + 4| < 7$

   • $|2x - 3| \geq 5$

   • $|x - 1| \leq 0$

2. Diga se há solução:

   • $|x| < -2$

   • $|x + 2| > -3$

3. Escreva como intervalo:

   • $|x| \leq 4$ = ___

   • $|x - 5| > 2$ = ___

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🧭 Dica final:

Trate o módulo com respeito! 😄
Toda inequação pode virar duas desigualdades. Pense como intervalo ou união de intervalos.
Se o lado direito for negativo, pare e pense: isso faz sentido?