🔢 Função Modular – Parte 3

Equações com Módulo

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🧠 Introdução

Resolver equações com módulo é entender que o módulo transforma o valor negativo em positivo. Por isso, toda equação do tipo:

$$|A| = B$$

deve ser interpretada como:

$$A = B \quad \text{ou} \quad A = -B$$

Atenção!
O módulo nunca resulta em número negativo. Portanto:

• Se $B < 0$, a equação não tem solução.

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✅ Casos mais simples

Exemplo 1:

$$|x| = 3$$

Temos:

$$x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3$$

Solução: $x = -3$ ou $x = 3$

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Exemplo 2:

$$|x - 2| = 5$$

Desdobramos:

$$x - 2 = 5 \quad \text{ou} \quad x - 2 = -5$$

Resolvendo:

• $x = 7$

• $x = -3$

Solução: $x = -3$ ou $x = 7$

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❌ Quando não há solução

Exemplo:

$$|x + 1| = -4$$

Não existe número real cujo módulo seja negativo.
Solução: Conjunto vazio → $\varnothing$

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🧩 Casos com duas expressões modulares

Exemplo:

$$|x - 1| = |2x + 3|$$

Esse tipo de equação exige análise por casos, baseando-se nos pontos onde o valor dentro do módulo muda de sinal.

Passos:

1. Determine os valores que anulam os módulos:

   • $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

   • $2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{3}{2}$

2. Defina intervalos:

   • I: $x < -\dfrac{3}{2}$

   • II: $-\dfrac{3}{2} \leq x < 1$

   • III: $x \geq 1$

3. Resolva em cada intervalo sem os módulos, aplicando o sinal correto.

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🧪 Exercícios para você tentar:

1. Resolva:

   • $|x + 4| = 7$

   • $|2x - 3| = 9$

   • $|x| = -1$

   • $|x - 1| = |3x + 2|$

2. Para quais valores de $x$ a equação abaixo não tem solução?

   $$|x - 5| = -2$$

3. Complete:

   • Se $|x - a| = b$, então $x =$ ___ ou $x =$ ___

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🧭 Dica final:

Sempre que encontrar módulo numa equação, pense:
“Isso pode ser positivo ou negativo antes de ser ‘modulado’.”
Trate cada possibilidade separadamente e verifique suas soluções ao final.