Exercício - Sistema linear

Exercícios de Sistema linear

1) Um grupo de 12 amigos reuniu-se durante um almoço de confraternização de fim de ano. Todos foram unânimes em pedir o prato sugerido pelo garçom e 10 deles pediram sobremesa, perfazendo uma despesa total de R$230,00 com esses dois itens. Sabendo-se que a quota de quem pediu sobremesa foi de R$20,00, calcule o preço unitário de cada um desses itens.

2) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é ?

3) Na França, três destes turistas trocaram por euros (€), no mesmo dia, as quantias que lhes restavam em dólares, libras e reais, da seguinte forma:

⇒ 1º turista: 50 dólares, 20 libras e 100 reais por 108,5 €.

⇒ 2º turista: 40 dólares, 30 libras e 200 reais por 152,2 €.

⇒ 3º turista: 30 dólares, 20 libras e 300 reais por 165,9 €.

Calcule o valor de uma libra, em euros, no dia em que os turistas efetuaram a transação

4) Uma pessoa vendeu três tipos de doces, num total de 80, e arrecadou R$ 115, 00. Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1, 00, um bombom R$ 2,00 e um “olho de sogra” R$ 1,50 e que a quantidade de brigadeiros vendidos é igual à soma doutros dois doces vendidos. O número de bombons que a pessoa vendeu é igual a:

a) 10                           b) 20                         c) 40                d) 15                    e) 30

5) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior?

a) 2 anos           b) 3 anos           c) 4 anos           d) 5 anos          e) 10 anos

6) (PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era

a) 96                     b) 98                   c) 108                     d) 116                       e) 128

7) (Ufg 2007) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um trabalhador percorre 550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7 centavos para a motocicleta, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve andar em cada um dos veículos, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00.

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Sistema Linear - II

Classificação de um sistema linear

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e determinado, possível e indeterminado  ou impossível.
O sistema possível linear (SPD) tem uma única solução.
Quando um sistema linear n x n é possível e determinado, o determinante D da matriz incompleta é diferente de zero. Reciprocamente, quando o determinante D da matriz incompleta é diferente de zero, o sistema é possível e determinado.

O sistema  possível e indeterminado (SPI) tem infinitas soluções.

Quando um sistema linear n x n é indeterminado, o determinante D da matriz incompleta é igual a zero e também D1 = D2 = D3 = ... = Dn = 0.

Quando um sistema linear n x  n é impossível, o determinante D da matriz incompleta é igual a zero e Di é não-nulo para, pelo menos, um i ∈ {1,2,...,n}.

Escalonamento de sistemas

Já vimos na postagem anterior, que para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, a regra de Cramer é muito prática, Mas quando o sistema é formado por três ou mais equações, é conveniente procurar um processo menos trabalhoso. Por esse motivo, vamos descrever o sistema em forma de escada, ou seja por escalonamento.

Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no sentido de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes dos coeficientes não-nulos.

Para escalonar um sistema, podemos utilizar as seguintes etapas;

1) Colocar como 1ª equação aquela que tenha 1 como coeficiente da 1ª incógnita. Caso não haja nenhuma equação assim, dividir membro a membro aquela que está como 1ª equação pelo coeficiente da 1ª incógnita.

2) Nas demais equações, obter zero como coeficiente da 1ª incógnita (caso já não seja), somando cada uma delas com o produto da 1ª equação pelo oposto do coeficiente dessa incógnita.

3) Repetir os itens 1 e 2, substituindo neles 1ª po 2ª, depois 2ª por 3ª etc.

Exemplo resolvido:

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Regra de Cramer

Regra de Cramer

Você já conheceu na postagem anterior algumas formas de obter o conjunto verdade de um sistema Agora, aprenderá dois métodos bastante práticos:  a regra de Cramer e o escalonamento, que facilitam a resolução de sistemas.

Analogamente, podemos escrever a matriz incompleta de qualquer sistema linear n x m, assim como o seu determinante D e também os determinantes Di obtidos através da troca dos coeficientes de uma i-ésima incógnita pelos termos independentes no determinante da matriz incompleta.

A regra de Cramer pode ser aplicada para resolver um sistema n x n, onde D ≠ 0.
     A solução é dada pelas razões

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Sistema Linear

     Em Matemática, um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis.

1. Equação linear     

         Para melhor desenvolvimento o estudo sobre sistema linear é necessário rever alguns conceitos sobre equação linear.
Consideramos como linear toda equação do tipo: a₁x₁,  a₂x_2,  a₃x₃, … x_n, de forma que:

a_1, a_2, a_3,… a_{n : Coeficiente reais, não todos nulos} 

x₁, x₂,x₃ ,… x_n : são as incógnitas

c: termo independente

Quando o termo independente é nulo, ou seja, quando c = 0, equação linear é homogênea.

Exemplo:
a) 2x + y + z = 4
b) x + y = 5
c) 4x + 5y + z = 0   (homogênea)

2. Sistema linear 

   Chama-se sistema linear as n incógnita um conjunto de duas ou mais equações linear com n incógnitas.

Genericamente, um sistema linear de m equações com n incógnitas, também indicado por sistema linear m X n ( lê-se: "m por n"), é representado por um conjunto de equações lineares do tipo:

Solução de um sistema linear

      Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.

Sistema linear homogêneo

           Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos os coeficiente  independentes nulos.

       Todo sistema homogêneo admite a solução nula (0,0, ..., 0) chamada de solução trivial. 

        Um sistema linear homogêneo pode ter outras soluções além da trivial.

. Regra de Cramer

. Classificação de um sistema linear

. Escalonamento

. Exercícios

. Fichamento

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Exercícios

1) Considerando o triângulo equilátero de lado m, determine

a) a altura h

b) sen 30°

c) cos 30°

d) tg 30°

e) sen 60°

f) cos 60°

g) tg 60°

2) Dados o quadrado de lado a, calcule:

a) a diagonal d

b) sen 45°

c) cos 45°

d) tg 45°

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Triângulo quaisquer

Triângulo quaisquer

Para desenvolver o estudo sobre as relações trigonométricas num triângulo qualquer é importante rever como se classificam os triângulos quanto às medidas dos lados e ângulos.

equilátero (se os três lados tiverem medidas iguais)

isósceles (se dois tiverem medidas iguais)

escaleno (se os três lados tiverem medidas diferentes)

Quanto aos ângulos, o triângulo pode ser:

acutângulo (se tiver três ângulos agudos)

retângulo (se tiver um ângulo reto)

obtusângulo (se tiver um ângulo obtuso)

Teoremas dos senos

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Operações com arcos e transformações em produto

Fórmulas de adição e subtração de arcos

As fórmulas que estudaremos a seguir, nos permitem calcular as funções trigonométricas do tipo soma (a + b) ou diferença (a – b) de arcos, representadas por números reais.

Seno da soma

Seno da diferença

Para obter sen (a – b) basta fazer sen [a + (-b)] 

e aplicar a fórmula do sen (a+b): sen [ a + (-b)] = sen a . cos (-b) + sen ( - b) . cos a

                    sen (-b) = - sen b

  Sendo :

                    cos (-b) = cos b

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Equações trigonométricas

Equações trigonométricas são aquelas que envolvem as funções trigonométricas em seus membros.

Como as equações trigonométricas possuem uma gama muito grande de variantes, vamos fazer o estudo dos principais tipos.
Salvo indicação em contrário, usaremos x como incógnita.

Equação do tipo: sen x = sen α

Para esse tipo de equação vamos fazer duas considerações:

• Quando as extremidades dos arcos de medidas x e α são coincidentes no ciclo trigonométrico, ou seja: x = α + k . 2π (k ∈ Z).

        No ciclo trigonométrico:

• Quando as extremidades dos arcos de medidas x e α são simétricas em relações ao eixo das ordenadas,ou seja: x = π - α + k . 2π.

         No ciclo trigonométrico:

Equação do tipo: cos x = cos α

Considerações:

• Quando as extremidades dos arcos de medidas de x e α são coincidentes no ciclo trigonométrico, ou seja: x = α + k . 2π.(k ∈ Z).

• Quando as extremidades dos arcos de medidas de x e α são simétricas em relação ao eixo das abscissas, ou seja x = -α + k . 2π.(k ∈ Z).

Equação do tipo: tg x = tg α

Considerações:

• Note que no ciclo trigonométrico as extremidades dos arcos de medidas x e α possuem o mesmo valor para a tangente, ou seja:

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Redução ao 1º Quadrante

Múltiplos de 30°, 45° e 60°

Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 45°

         Os arcos múltiplos de 45° (mas não de 90°) possuem o valor numérico do seno e cosseno iguais ao seno e cosseno de 45°, respectivamente, com o sinal correspondente a cada quadrante.

Dividindo o ciclo trigonométrico em oito "ascos iguais", obtemos os valores:

Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 30°

   Obtermos os arcos múltiplos de 30° e 60° dividindo a circunferência em 12 "arcos iguais" e, em seguida, encontramos o seno e cosseno desses arcos, dos quais destacamos aquele que não têm extremidade em um dos eixos.

Redução ao 1° quadrante

           Considerando um arco x (x não pertencente ao 1° quadrante), reduzir esse arco ao 1° quadrante, através de uma fórmula, com  o objetivo de conhecer senx, cos x e tg x.

           Ao reduzir um arco do 2°, 3° ou 4° quadrantes para o 1° estamos simplificando o estudo de trigonometria, pois as funções trigonométricas terão o mesmo valor absoluto para esses arcos.

Arcos suplementares 

Dois arcos são suplementares quando a soma de suas medidas resulta 180°. 

Exemplos:

a) 120° e 60° ⇒ 120° + 60° = 180°

b) x e π - x  ⇒ x + π - x =  π 

Redução do 2° para o 1° quadrante.

No ciclo trigonométrico

Sejam os arcos:

• x (do 1° quadrante)
• (π - x) (do 2° quadrante)

Sendo os pontos B e C simétricos com relação ao eixo dos senos, eles têm ordenadas iguais e abscissas opostas.

Conclusão a partir do ciclo trigonométrico: 

Arcos explementares

Dois arcos são explementares quando suas medidas diferem de 180°.

Exemplos:

a) 225° e 45° ⇒ 225°- 45° = 180°

b) (π + x) e x ⇒ π + x - x =  π

No ciclo trigonométrico

Redução do 3° para o 1° quadrante

Sejam os arcos:

• x (do 1° quadrante)
• (π + x) (do 3° quadrante)

Sendo os pontos B e C simétricos em relação ao centro O da circunferência (diametralmente opostos), eles têm ordenadas opostas e abscissas opostas.

 Conclusão a partir do ciclo trigonométrico

Arcos replementares

Dois arcos são replementares quando a soma da sua medida resulta 360°.

Exemplos:

a) 300° e 60° ⇒ 300° + 60° = 360°

No ciclo trigonométrico

b) (2π - x) e x  ⇒  2π - x + x = 2π

Redução do 4° para o 1° quadrante

Sejam os arcos:

• x (do 1° quadrante)
• (2π - x) (do 3° quadrante)

Sendo os pontos B e C simétricos com relação ao eixo dos cossenos, eles têm ordenadas opostas e

abcissas iguais.

Conclusão a partir do ciclo trigonométrico:

Arcos complementares 

Dois arcos são complementares quando a soma de suas medidas dor igual a 90°.

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