Redução ao 1º Quadrante

Múltiplos de 30°, 45° e 60°

Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 45°

         Os arcos múltiplos de 45° (mas não de 90°) possuem o valor numérico do seno e cosseno iguais ao seno e cosseno de 45°, respectivamente, com o sinal correspondente a cada quadrante.

Dividindo o ciclo trigonométrico em oito "ascos iguais", obtemos os valores:

Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 30°

   Obtermos os arcos múltiplos de 30° e 60° dividindo a circunferência em 12 "arcos iguais" e, em seguida, encontramos o seno e cosseno desses arcos, dos quais destacamos aquele que não têm extremidade em um dos eixos.

Redução ao 1° quadrante

           Considerando um arco x (x não pertencente ao 1° quadrante), reduzir esse arco ao 1° quadrante, através de uma fórmula, com  o objetivo de conhecer senx, cos x e tg x.

           Ao reduzir um arco do 2°, 3° ou 4° quadrantes para o 1° estamos simplificando o estudo de trigonometria, pois as funções trigonométricas terão o mesmo valor absoluto para esses arcos.

Arcos suplementares 

Dois arcos são suplementares quando a soma de suas medidas resulta 180°. 

Exemplos:

a) 120° e 60° ⇒ 120° + 60° = 180°

b) x e π - x  ⇒ x + π - x =  π 

Redução do 2° para o 1° quadrante.

No ciclo trigonométrico

Sejam os arcos:

• x (do 1° quadrante)
• (π - x) (do 2° quadrante)

Sendo os pontos B e C simétricos com relação ao eixo dos senos, eles têm ordenadas iguais e abscissas opostas.

Conclusão a partir do ciclo trigonométrico: 

Arcos explementares

Dois arcos são explementares quando suas medidas diferem de 180°.

Exemplos:

a) 225° e 45° ⇒ 225°- 45° = 180°

b) (π + x) e x ⇒ π + x - x =  π

No ciclo trigonométrico

Redução do 3° para o 1° quadrante

Sejam os arcos:

• x (do 1° quadrante)
• (π + x) (do 3° quadrante)

Sendo os pontos B e C simétricos em relação ao centro O da circunferência (diametralmente opostos), eles têm ordenadas opostas e abscissas opostas.

 Conclusão a partir do ciclo trigonométrico

Arcos replementares

Dois arcos são replementares quando a soma da sua medida resulta 360°.

Exemplos:

a) 300° e 60° ⇒ 300° + 60° = 360°

No ciclo trigonométrico

b) (2π - x) e x  ⇒  2π - x + x = 2π

Redução do 4° para o 1° quadrante

Sejam os arcos:

• x (do 1° quadrante)
• (2π - x) (do 3° quadrante)

Sendo os pontos B e C simétricos com relação ao eixo dos cossenos, eles têm ordenadas opostas e

abcissas iguais.

Conclusão a partir do ciclo trigonométrico:

Arcos complementares 

Dois arcos são complementares quando a soma de suas medidas dor igual a 90°.

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Aplicação função Seno

    Quando um raio de luz incide sobre a fronteira que separa dois meios de propagação diferente (ar e água, por exemplo), observamos  a alteração de direção desta propagação. A esse fenômeno damos o nome de refração da luz.

    A lei de Snell estabelece a relação existente entre o ângulo de incidência θ1, o de refração θ2 (ambas formados entre o raio e a perpendicular à superfície que separa os meios) e os valores n1 e n2, chamados índice de refração dos meios 1 e 2 respectivamente. Veja representação na figura:

   O índice de refração é um valor associado às diversas características do meio no qual a luz se propaga, destacando-se, entre elas, a densidade.

     O índice de refração do ar, por exemplo, é 1, e o da água é 1,31. Essa diferença de índice de refração é responsável pela ilusão de ótica que temos quando observamos um objeto imerso em água numa posição que não corresponde àquela em efetivamento ele se encontra, pois o raio incidente desvia de direção ao passar de um meio menos denso para um mais denso. 

      Em linguagem matemática, veja o que acontece quando um raio de luz que se propaga no ar incide na água num ângulo de 60°:

Note que o raio incidente sofre refração aproximando-se da perpendicular quando passa do ar para a água, ou de modo geral, quando passa de um meio menos denso para outro mais denso.

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Função trigonométrica(II)

Função Seno

 y = sen x     Considerando um arco AP, cuja medida é o número real x, denominamos seno do arco AP o valor da ordenada do ponto P.

No ciclo trigonométrico: 

 A função seno é uma f: R→R que a todo arco AP de medida x ∈ R associada a ordenada M do ponto P.

  f(x) = M = sen x  

                       

   O domínio da função seno

é D = R e a imagem é Im = [ -1,1]

Vamos construir o gráfico da função seno.

Observe abaixo como fica a construção do gráfico

          A função seno é periódica, ou seja, existe uma constante real p tal que f(x) = f(x + p).  O menor valor positivo de p que satisfaz essa igualdade é chamado período.
        Para  f(x) = sen x, no período é 2π. De modo geral, para a funções do tipo  f(x) = sen ax, o período é obtido do dividindo-se 2π por |a|:

Período =  2π

                  |a|

       As principais características da função seno são:

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Ângulos notáveis : 30°,45° e 60°

Alguns ângulos, devido ao seu contante uso, merece um estudo especial. É o caso daqueles que medem 30° e 60°. Para tanto vamos considerar que um triângulo equilátero a mediana, a altura e a bissetriz relativamente a um mesmo ângulo interno coincidem.

Observe o triângulo equilátero ABC, cujo lados medem l e altura h.

Cálculo da Altura h ( aplicando o teorema de Pitágoras) no triângulo retângulo AMC

Cálculo do seno, cosseno e tangente de 30° e 60° 

Outro ângulo importante é o de 45°, Neste caso, vamos considerar um triângulo retângulo e isósceles ABC cujo catetos medem l e a hipotenusa mede x. Observe-o. 

Organizando os resultados, construímos a tabela abaixo:

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Exercício (Trigonometria)

1ª) Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2013
   As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

1ª questão com seno, cosseno e tangente – Enem 2013

Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:

a) menor que 100m².

b) entre 100 m² e 300 m².

c) entre 300 m² e 500 m².

d) entre 500 m² e 700 m².

e) maior que 700 m².

Resolução:

Vamos analisar o triângulo formado pela inclinação desse prédio:

Triângulo vermelho formado pela inclinação da torre

Podemos considerar que a altura do prédio corresponde ao cateto oposto ao ângulo de 15°, já a base corresponde ao cateto adjacente. Sendo assim, podemos utilizar a fórmula da tangente para determinar essa base:

tg 15° =  cateto oposto
                 cateto adjacente

tg 15° =   x   
              114

Considerando que tg 15° = 0,26, como propõe o enunciado, temos:

0,26 =   x  

             114

x = 114 . 0,26

x = 29,64 m

Como a base do prédio é quadrada, basta multiplicar o valor do lado encontrado por ele mesmo para encontrar a área da base:

A = 29,64 . 29,64

A = 878,53 m²

A alternativa correta é a letra e.

2ª ) Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2009

      Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

2ª questão com seno, cosseno e tangente – Enem 2013

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a ?

a) 50%

b) 43%

c) 37%

d) 33%

e) 19%

Resolução:

A área total de extração do terreno corresponde a um quarto de círculo de raio de 1 km, cujo ângulo central é de 90°. Se os irmãos pretendem dividir a área de extração de forma igualitária, então o ângulo central do terreno de cada herdeiro deverá ser de 30°, uma vez que 90 dividido por três 3 é igual a 30. Vamos então analisar a figura que representa o terreno de João:

Terreno de João

Nós conhecemos apenas um dos lados do terreno de João, o cateto adjacente ao ângulo de 30°. Para que possamos calcular a área desse triângulo, é importante encontrar a medida do cateto oposto ao ângulo de 30°. Para tanto, vamos utilizar a fórmula para o cálculo da tangente:

tg 30° = cateto oposto
cateto adjacente

tg 30° = x
               2

√3 = x
3      2

Utilizando a informação cedida pelo exercício, substituiremoss por 0,58:

0,58 = x
            2

x = 0,58 . 2

x = 1,16 km

Agora podemos calcular a área do terreno de João. Para isso, considere 2 km como a altura do triângulo e 1,16 km como sua base:

A = base . altura
2

A = 2 . 1,16
       2

A = 1,16 km²

Para encontrar a área total do terreno deixado de herança pelo pai, basta multiplicar a base pela altura do retângulo da primeira imagem, isto é, 3 . 2 = 6 km². Para calcular a porcentagem correspondente a João, devemos encontrar o quociente entre as áreas do terreno dele e do terreno total, isto é:

P = 1,16 = 0,19333... = 19,3%

6                             

Portanto, a alternativa que apresenta a porcentagem correta é a letra e

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