🔄 Matrizes – Parte 3

 

🔄 Matrizes – Parte 3: Matriz Inversa e Sistemas Lineares

🔁 O que é a Matriz Inversa?

A inversa de uma matriz quadrada A é outra matriz A-1 tal que:

A × A-1 = A-1 × A = I

Onde I é a matriz identidade da mesma ordem.

Só existe inversa se:

• A matriz for quadrada (mesmo número de linhas e colunas)
• O determinante for diferente de zero

✅ Como encontrar a inversa de uma matriz 2×2

Se:

A = | a  b |
    | c  d |

Então:

A-1 = (1 / (ad - bc)) × | d  -b |
                                 | -c  a |

🔎 Exemplo:

Dada a matriz:

A = | 2  3 |
    | 1  4 |

1. Calcula o determinante:
   det(A) = 2×4 - 3×1 = 8 - 3 = 5
2. Calcula a inversa:
   A^-1 = (1/5) × | 4 -3 | | -1 2 |
   A^-1 =

     |  4/5  -3/5 |
     | -1/5   2/5 |
     

📘 Aplicação: Resolver sistemas com matriz inversa

Sistema:

2x + 3y = 8
x  + 4y = 10

Forma matricial:

A = | 2  3 |
    | 1  4 |, 

X = | x |
    | y |, 

B = | 8 |
    |10 |

Solução: X = A^-1 × B

Usando A^-1 já calculada:

X = |  4/5  -3/5 |   ×   | 8  |
    | -1/5   2/5 |       |10 |

= | (4×8 - 3×10)/5 |
  | (-1×8 + 2×10)/5 |

= | 2/5 |
  |12/5 |

Resposta: x = 2/5, y = 12/5

❗ Observações:

• Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
• A solução via matriz inversa funciona melhor com sistemas pequenos e bem definidos.

🧪 Pratique:

1. Encontre a inversa de:

   | 1  2 |
   | 3  5 |
   

2. Resolva o sistema usando matriz:

   x + y = 3
   2x - y = 0
   

🧭 Dica final:

Dominar a matriz inversa te ajuda a resolver sistemas lineares de forma compacta e organizada. Use essa ferramenta sempre que a matriz dos coeficientes tiver determinante diferente de zero!

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👉 Próxima aula: Parte 4 – Sistemas Lineares com 3 variáveis e Regra de Cramer

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🧮 Matrizes – Parte 2

Multiplicação e Determinantes

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🔁 Multiplicação de Matrizes

🧠 Regra fundamental:

Você só pode multiplicar duas matrizes se:

$$\text{Número de colunas da 1ª matriz = número de linhas da 2ª matriz}$$

Se:

• $A$ é uma matriz $m \times n$

• $B$ é uma matriz $n \times p$

Então:

• O produto $A \cdot B$ existe e será uma matriz $m \times p$

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📘 Exemplo 1 – Multiplicação 2×2

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$$

Multiplicação:

$$A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$$

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❌ Atenção:

A multiplicação de matrizes NÃO é comutativa, ou seja:

$$A \cdot B \neq B \cdot A$$

Nem sempre as duas multiplicações são possíveis, e mesmo quando são, os resultados geralmente são diferentes!

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🧾 Determinante de Matrizes

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada. Ele nos dá informações sobre:

• Se uma matriz é imersível

• Se um sistema linear tem solução única

• Se há dependência entre linhas/colunas

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📐 Determinante de matriz 2×2

Se:

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

Então:

$$\text{det}(A) = ad - bc$$

Exemplo:

$$\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \text{det} = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 5 = 12 - 10 = 2$$

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📐 Determinante de matriz 3×3 (Regra de Sarrus)

Se:

$$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$

Repita as 2 primeiras colunas ao lado e aplique a Regra de Sarrus:

$$\text{det}(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$

Exemplo:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\text{det} = 1\cdot1\cdot0 + 2\cdot4\cdot5 + 3\cdot0\cdot6 - 3\cdot1\cdot5 - 2\cdot0\cdot0 - 1\cdot4\cdot6$$
$$\text{det} = 0 + 40 + 0 - 15 - 0 - 24 = 1$$

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🧪 Atividades:

1. Calcule:

$$\text{det} \left(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \right)$$

2. Verifique se a multiplicação é possível:

• $A = 2 \times 3$, $B = 3 \times 2$ → ___

• $A = 2 \times 3$, $B = 2 \times 2$ → ___

3. Faça a multiplicação:

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$$

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🧭 Dica final:

Dominando multiplicações e determinantes, você está pronto para resolver sistemas lineares, entender matrizes inversas, e até aplicar conceitos em outras disciplinas (física, economia, computação).

👉 No próximo post:

Parte 3 – Inversa de Matrizes e Aplicações em Sistemas Lineares 

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🔢 Matrizes – Parte 1: Conceito, Notação e Operações Básicas

🔢 Matrizes – Parte 1: Conceito, Notação e Operações Básicas

🧠 O que é uma matriz?

Uma matriz é uma tabela de números dispostos em linhas e colunas. Ela é usada para organizar informações e realizar cálculos em diversas áreas: sistemas lineares, transformações geométricas, estatística, programação etc.

🔷 Notação geral

Uma matriz A com m linhas e n colunas é representada por:

A = [aij]m × n

Onde:

• aij representa o elemento da linha i e coluna j
• m = número de linhas
• n = número de colunas

Exemplo:

A = | 1  2  3 |
    | 4  5  6 | → matriz 2 × 3

📏 Tipos de matrizes

• Matriz linha: só tem uma linha (ex: 1 × n)
• Matriz coluna: só tem uma coluna (ex: m × 1)
• Matriz quadrada: número de linhas = colunas
• Matriz diagonal: matriz quadrada com zeros fora da diagonal principal
• Matriz identidade: diagonal com “1” e zeros no restante
• Matriz nula: todos os elementos são zero

➕ Operações básicas

1. Adição e subtração

Somente entre matrizes da mesma ordem:

A + B = [aij + bij]

2. Multiplicação por escalar

Multiplica-se cada elemento da matriz por um número real:

2 × | 1  3 |
    | 2  4 | 
  = | 2  6 |
    | 4  8 |

🧩 Multiplicação de Matrizes (introdução)

Para multiplicar A × B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B.

Exemplo:

A = [1  2],  B = [3]
             [4]

A × B = 1×3 + 2×4 = 11

➡️ Multiplicação completa será aprofundada na Parte 2.

🧪 Pratique:

1. Classifique a matriz:

   M = | 2  -1 |
       | 0   5 |
   

2. Efetue a adição:

   | 1  2 | + | 0  -2 | = ?
   | 3  4 |   | 5   1 |
   

3. Multiplique por 3:

   3 × | -1  0 |
       |  4  2 | = ?
   

🧭 Dica final:

Matrizes não são só "quadros de números" — são ferramentas poderosas na matemática moderna. Comece devagar, compreendendo bem a ordem, a posição dos elementos e as operações básicas.

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👉 Na próxima postagem: Matrizes – Parte 2: Multiplicação entre matrizes e Determinantes

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🚀 Função Modular– Parte 5:

 Aplicações em Problemas e Contextos

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🧠 Revisando rapidamente:

Sabemos que:

$$|x - a|$$

representa a distância entre x e a na reta real. Essa é a base para aplicar o módulo em situações concretas.

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📏 1. Distância na reta real

O módulo é usado para calcular a distância entre dois pontos na reta.

Exemplo:

Qual a distância entre os números $2$ e $7$?

$$|2 - 7| = |-5| = 5$$

Outro exemplo:

Qual a distância entre $x$ e o número $3$?

$$|x - 3|$$

Essa expressão ainda não tem valor numérico, mas representa a distância entre x e 3.

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🕒 2. Problemas com tempo e deslocamento

Exemplo:

Um trem parte de uma estação às 14h. A função $f(t) = |t - 14|$ representa o número de horas desde a partida.
Quanto tempo se passou às 13h e às 16h?

• $f(13) = |13 - 14| = 1$ hora

• $f(16) = |16 - 14| = 2$ horas

🔹 O módulo permite trabalhar antes e depois do ponto de referência.

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🎯 3. Problemas de mínimo e máximo

Exemplo:

Um produto deve ser mantido a 20°C com uma variação máxima de 2°C. Qual a condição matemática para a temperatura $T$ estar aceitável?

$$|T - 20| \leq 2$$

🔹 Essa inequação representa a faixa de controle:

$$18 \leq T \leq 22$$

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📊 4. Gráficos com contexto

Exemplo:

A função $f(x) = |x - 3|$ representa o custo para estacionar em um local que cobra com base na distância em quilômetros até um ponto fixo (x = 3).
O gráfico terá vértice no ponto (3, 0) e crescerá dos dois lados.

Esse tipo de problema aparece em provas com gráficos de custo, tempo, movimento etc.

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🧪 Questões práticas (estilo vestibular)

Questão 1:

A função $f(x) = |x - 5|$ representa o erro na medição de uma peça em relação ao tamanho ideal de 5 cm.
Para que o erro seja menor que 0,5 cm, qual inequação representa isso?

$$|x - 5| < 0{,}5$$

🔹 Resolvendo:

$$4{,}5 < x < 5{,}5$$

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Questão 2:

Uma cidade fica localizada no km 0 de uma estrada. Um radar mede a distância de um carro à cidade pela função $d(t) = |t - 10|$, onde $t$ é o tempo em minutos.
Qual a distância do carro ao km 0 no instante $t = 7$?

$$d(7) = |7 - 10| = 3 \text{ km}$$

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🧪 Desafios:

1. Um aluno precisa chegar à escola às 7h. A função $A(t) = |t - 7|$ indica seu atraso. Qual o valor de $A(6{,}45)$ e $A(7{,}20)$?

2. Para manter a pressão ideal de um sistema em 100 psi, a variação não pode ultrapassar 3 psi. Escreva a inequação que representa isso.

3. Um número $x$ deve estar a mais de 2 unidades de distância de 5. Escreva a condição matemática.

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🧭 Dica final:

Sempre que o problema envolver distância, diferença, atraso, tolerância ou margem de erro, pense em usar módulo.
Ele é o jeito mais eficiente de representar variação simétrica em torno de um ponto.

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⚖️ Função Modular – Parte 4

 Inequações com Módulo

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🧠 O que é uma inequação com módulo?

Uma inequação com módulo envolve expressões do tipo:

$$|A| < B, \quad |A| > B, \quad |A| \leq B, \quad |A| \geq B$$

A ideia é parecida com as equações modulares: você desmembra a expressão para analisar os dois lados possíveis do valor absoluto, mas agora com intervalos.

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🚦 Casos principais

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✅ 1. Caso: $|x| < a$

Quando $a > 0$, temos:

$$|x| < a \quad \Rightarrow \quad -a < x < a$$

Exemplo:

$$|x| < 5 \quad \Rightarrow \quad -5 < x < 5$$

🔹 Intervalo aberto, com dois limites.

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✅ 2. Caso: $|x| \leq a$

$$|x| \leq a \quad \Rightarrow \quad -a \leq x \leq a$$

Exemplo:

$$|x| \leq 3 \quad \Rightarrow \quad -3 \leq x \leq 3$$

🔹 Intervalo fechado (inclui os extremos).

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✅ 3. Caso: $|x| > a$

$$|x| > a \quad \Rightarrow \quad x < -a \quad \text{ou} \quad x > a$$

Exemplo:

$$|x| > 2 \quad \Rightarrow \quad x < -2 \quad \text{ou} \quad x > 2$$

🔹 Solução em duas partes (união de intervalos abertos).

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✅ 4. Caso: $|x| \geq a$

$$|x| \geq a \quad \Rightarrow \quad x \leq -a \quad \text{ou} \quad x \geq a$$

Exemplo:

$$|x| \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq -1 \quad \text{ou} \quad x \geq 1$$

🔹 Solução em duas partes (intervalos fechados).

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❌ Atenção: Se $a < 0$

Se a inequação for com valor negativo no lado direito, o módulo nunca será menor que zero, pois:

$$|x| \geq 0 \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}$$

Então:

• $|x| < -1$ → ❌ Sem solução

• $|x| > -1$ → ✅ Solução: todos os reais ($\mathbb{R}$)

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🧪 Exemplos resolvidos

Exemplo 1:

$$|x - 3| < 2$$

Passo 1: Retira o módulo com desigualdade dupla:

$$-2 < x - 3 < 2$$

Passo 2: Soma 3 em todos os membros:

$$1 < x < 5$$

Solução: Intervalo aberto: $(1, 5)$

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Exemplo 2:

$$|2x + 1| \geq 3$$

Passo 1: Dois casos:

$$2x + 1 \leq -3 \quad \text{ou} \quad 2x + 1 \geq 3$$

Passo 2: Resolve as duas:

• $2x \leq -4 \Rightarrow x \leq -2$

• $2x \geq 2 \Rightarrow x \geq 1$

Solução: $x \leq -2 \quad \text{ou} \quad x \geq 1$

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🧪 Pratique:

1. Resolva:

   • $|x + 4| < 7$

   • $|2x - 3| \geq 5$

   • $|x - 1| \leq 0$

2. Diga se há solução:

   • $|x| < -2$

   • $|x + 2| > -3$

3. Escreva como intervalo:

   • $|x| \leq 4$ = ___

   • $|x - 5| > 2$ = ___

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🧭 Dica final:

Trate o módulo com respeito! 😄
Toda inequação pode virar duas desigualdades. Pense como intervalo ou união de intervalos.
Se o lado direito for negativo, pare e pense: isso faz sentido?

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🔢 Função Modular – Parte 3

Equações com Módulo

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🧠 Introdução

Resolver equações com módulo é entender que o módulo transforma o valor negativo em positivo. Por isso, toda equação do tipo:

$$|A| = B$$

deve ser interpretada como:

$$A = B \quad \text{ou} \quad A = -B$$

Atenção!
O módulo nunca resulta em número negativo. Portanto:

• Se $B < 0$, a equação não tem solução.

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✅ Casos mais simples

Exemplo 1:

$$|x| = 3$$

Temos:

$$x = 3 \quad \text{ou} \quad x = -3$$

Solução: $x = -3$ ou $x = 3$

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Exemplo 2:

$$|x - 2| = 5$$

Desdobramos:

$$x - 2 = 5 \quad \text{ou} \quad x - 2 = -5$$

Resolvendo:

• $x = 7$

• $x = -3$

Solução: $x = -3$ ou $x = 7$

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❌ Quando não há solução

Exemplo:

$$|x + 1| = -4$$

Não existe número real cujo módulo seja negativo.
Solução: Conjunto vazio → $\varnothing$

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🧩 Casos com duas expressões modulares

Exemplo:

$$|x - 1| = |2x + 3|$$

Esse tipo de equação exige análise por casos, baseando-se nos pontos onde o valor dentro do módulo muda de sinal.

Passos:

1. Determine os valores que anulam os módulos:

   • $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

   • $2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{3}{2}$

2. Defina intervalos:

   • I: $x < -\dfrac{3}{2}$

   • II: $-\dfrac{3}{2} \leq x < 1$

   • III: $x \geq 1$

3. Resolva em cada intervalo sem os módulos, aplicando o sinal correto.

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🧪 Exercícios para você tentar:

1. Resolva:

   • $|x + 4| = 7$

   • $|2x - 3| = 9$

   • $|x| = -1$

   • $|x - 1| = |3x + 2|$

2. Para quais valores de $x$ a equação abaixo não tem solução?

   $$|x - 5| = -2$$

3. Complete:

   • Se $|x - a| = b$, então $x =$ ___ ou $x =$ ___

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🧭 Dica final:

Sempre que encontrar módulo numa equação, pense:
“Isso pode ser positivo ou negativo antes de ser ‘modulado’.”
Trate cada possibilidade separadamente e verifique suas soluções ao final.

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