Matrizes
I - Conceito
II - Tipos de matrizes
III- Igualdade de Matrizes
IV - Matriz transposta
V - Adição e subtração de matrizes
VI - Multiplicação de um número real por uma matriz
VII - Multiplicação de matrizes
VIII - Matriz inversa
IX - Equação envolvendo matrizes
Conceito simples de matrizes
Em nosso dia a dia, e comum encontramos varias informações importantes organizadas em forma de filas e ou colunas, com o objetivo de deixar essas informações muitas mais simplificada e organizadas, a este tipo de organização, nomeamos como matrizes.
As matrizes são amplamente utilizadas em diversas áreas, como na Física, computação, administração e Engenharia.
Observe o exemplo abaixo:
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BOLETIM ESCOLAR |
2019 |
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DISCIPLINA |
1ª |
2ª |
3ª |
4ª |
FINAL |
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MATEMÁTICA |
6,5 |
7,0 |
5,0 |
8,0 |
6,75 |
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FÍSICA |
7,5 |
6,0 |
9,5 |
7,5 |
7,5 |
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BIOLOGIA |
8,0 |
7,5 |
8,5 |
6,5 |
7,75 |
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PORTUGUÊS |
9,5 |
8,5 |
9,5 |
7,5 |
9 |
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QUÍMICA |
5,0 |
6,5 |
7,5 |
8,0 |
7 |
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Podemos representar essa tabela pela seguinte matriz:
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6,5 |
7,0 |
5,0 |
8,0 |
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7,5 |
6,0 |
9,5 |
7,5 |
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8,0 |
7,5 |
8,5 |
6,5 |
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9,5 |
8,5 |
9,5 |
7,5 |
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5,0 |
6,5 |
7,5 |
8,0 |
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Como essa matriz possui 5 linhas e 4 colunas, dizemos que é de ordem (ou tipo) 5x4 (lê-se "cinco por quatro). Nela, as linhas correspondem à pontuação em cada disciplina. Nas colunas indicam a pontuação em cada avaliação ou trimestres, a primeira linha por exemplo corresponde a todas as notas alcançadas pelo aluno na disciplina de matemática durante todo o ano letivo, a 2ª coluna corresponde ao seu desempenho em todas a disciplinas na segunda avaliação.
O elemento da matriz localizada na 2ª linha e 2ª coluna corresponde a nota alcançada pelo aluno nas disciplina de Física na 2ª avaliação ou seja o aluno tirou 6,0 na 2ª avaliação de Física.
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2ª coluna |
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6,5 |
7,0 |
5,0 |
8,0 |
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uma matriz de ordem mxn, com m e n números naturais não nulos, é toda tabla composta por m-n elementos dispostos em m linhas e n colunas. |
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2ª linha → |
7,5 |
6,0 |
9,5 |
7,5 |
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8,0 |
7,5 |
8,5 |
6,5 |
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9,5 |
8,5 |
9,5 |
7,5 |
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5,0 |
6,5 |
7,5 |
8,0 |
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Exemplos:
. Matriz de ordem 2x3: duas linhas e três colunas. |
.Matriz de ordem 1x4: uma linha e quatro colunas. |
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3 |
4 |
-1 |
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4 |
-2 |
1 |
0 |
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-2 |
6 |
0 |
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. Matriz de ordem 3x2: três linhas e duas colunas.
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.Matriz de ordem 2x1: duas linhas e uma coluna.
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-3 |
4 |
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-23 |
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0 |
1 |
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14 |
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5 |
-2 |
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Como costume indicar cada cada matriz com uma letra maiúscula, e dada um de seu elementos com a mesma letra porém minuscula, acompanhada de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento está posicionado.
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considere o exemplo, a Matriz A = |
-3 |
4 |
, temos: |
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0 |
1 |
. elemento da 1ª linha e 1ª coluna: a
11 = -3 (lê-se "a um um")
. elemento da 1ª linha e 2ª coluna: a
12 = 2 (lê-se "a um dois")
. elemento da 2ª linha e 1ª coluna: a
21 = 0 (lê-se "a dois um")
. elemento da 2ª linha e 2ª coluna: a
22 = 1 (lê-se "a dois dois")
Representação genérica de uma matriz A de ordem m x n, ou seja m linhas e n colunas, |
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a |
11 |
a |
12 |
a |
13 |
… |
a |
1j |
… |
a |
1n |
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a |
21 |
a |
22 |
a |
23 |
… |
a |
2j |
… |
a |
2n |
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a |
31 |
a |
32 |
a |
33 |
… |
a |
3j |
… |
a |
3n |
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A = |
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… |
… |
… |
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… |
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… |
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a |
i1 |
a |
i2 |
a |
i3 |
… |
a |
ij |
… |
a |
in |
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… |
… |
… |
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… |
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… |
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a |
m1 |
a |
m2 |
a |
m3 |
… |
a |
mj |
… |
a |
mn |
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No elemento aij, o índice i indica a linha, e o j, a coluna em que o elemento está localizado.
O elemento a13, por exemplo, tem i = 1 e j = 3, ou seja, está localizado na 1ª linha e na 3ª coluna.
Podemos indicar essa matriz também da seguinte maneira A = (aij)mxm.
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