Exercício - Sistema linear

Exercícios de Sistema linear

1) Um grupo de 12 amigos reuniu-se durante um almoço de confraternização de fim de ano. Todos foram unânimes em pedir o prato sugerido pelo garçom e 10 deles pediram sobremesa, perfazendo uma despesa total de R$230,00 com esses dois itens. Sabendo-se que a quota de quem pediu sobremesa foi de R$20,00, calcule o preço unitário de cada um desses itens.

2) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas 2 pessoas é ?

3) Na França, três destes turistas trocaram por euros (€), no mesmo dia, as quantias que lhes restavam em dólares, libras e reais, da seguinte forma:

⇒ 1º turista: 50 dólares, 20 libras e 100 reais por 108,5 €.

⇒ 2º turista: 40 dólares, 30 libras e 200 reais por 152,2 €.

⇒ 3º turista: 30 dólares, 20 libras e 300 reais por 165,9 €.

Calcule o valor de uma libra, em euros, no dia em que os turistas efetuaram a transação

4) Uma pessoa vendeu três tipos de doces, num total de 80, e arrecadou R$ 115, 00. Sabe-se que um brigadeiro custa R$ 1, 00, um bombom R$ 2,00 e um “olho de sogra” R$ 1,50 e que a quantidade de brigadeiros vendidos é igual à soma doutros dois doces vendidos. O número de bombons que a pessoa vendeu é igual a:

a) 10                           b) 20                         c) 40                d) 15                    e) 30

5) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos. As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior?

a) 2 anos           b) 3 anos           c) 4 anos           d) 5 anos          e) 10 anos

6) (PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era

a) 96                     b) 98                   c) 108                     d) 116                       e) 128

7) (Ufg 2007) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um trabalhador percorre 550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7 centavos para a motocicleta, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve andar em cada um dos veículos, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00.

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Sistema Linear - II

Classificação de um sistema linear

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e determinado, possível e indeterminado  ou impossível.
O sistema possível linear (SPD) tem uma única solução.
Quando um sistema linear n x n é possível e determinado, o determinante D da matriz incompleta é diferente de zero. Reciprocamente, quando o determinante D da matriz incompleta é diferente de zero, o sistema é possível e determinado.

O sistema  possível e indeterminado (SPI) tem infinitas soluções.

Quando um sistema linear n x n é indeterminado, o determinante D da matriz incompleta é igual a zero e também D1 = D2 = D3 = ... = Dn = 0.

Quando um sistema linear n x  n é impossível, o determinante D da matriz incompleta é igual a zero e Di é não-nulo para, pelo menos, um i ∈ {1,2,...,n}.

Escalonamento de sistemas

Já vimos na postagem anterior, que para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, a regra de Cramer é muito prática, Mas quando o sistema é formado por três ou mais equações, é conveniente procurar um processo menos trabalhoso. Por esse motivo, vamos descrever o sistema em forma de escada, ou seja por escalonamento.

Um sistema está escalonado quando de equação para equação, no sentido de cima para baixo, houver aumento dos coeficientes nulos situados antes dos coeficientes não-nulos.

Para escalonar um sistema, podemos utilizar as seguintes etapas;

1) Colocar como 1ª equação aquela que tenha 1 como coeficiente da 1ª incógnita. Caso não haja nenhuma equação assim, dividir membro a membro aquela que está como 1ª equação pelo coeficiente da 1ª incógnita.

2) Nas demais equações, obter zero como coeficiente da 1ª incógnita (caso já não seja), somando cada uma delas com o produto da 1ª equação pelo oposto do coeficiente dessa incógnita.

3) Repetir os itens 1 e 2, substituindo neles 1ª po 2ª, depois 2ª por 3ª etc.

Exemplo resolvido:

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Regra de Cramer

Regra de Cramer

Você já conheceu na postagem anterior algumas formas de obter o conjunto verdade de um sistema Agora, aprenderá dois métodos bastante práticos:  a regra de Cramer e o escalonamento, que facilitam a resolução de sistemas.

Analogamente, podemos escrever a matriz incompleta de qualquer sistema linear n x m, assim como o seu determinante D e também os determinantes Di obtidos através da troca dos coeficientes de uma i-ésima incógnita pelos termos independentes no determinante da matriz incompleta.

A regra de Cramer pode ser aplicada para resolver um sistema n x n, onde D ≠ 0.
     A solução é dada pelas razões

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