Função trigonométrica(I)

Ciclo trigonométrico

 Chamamos de ciclo trigonométrico toda circunferência orientada, em que:

• o centro é a origem do plano cartesiano
• o raio (r) é unitário (r =1)
• o sentido positivo é o anti-horário (sentido contrário ao do movimento dos ponteiros de um relógio).
• o sentido negativo é o horário (sentido do movimento dos ponteiros de um relógio)
• o ponto A é a origem do ciclo trigonométrico. A localização da extremidade de um arco varia conforme o comprimento desse arco.

      

 Localização da extremidade de um arco no ciclo trigonométrico

        Os eixos cartesianos dividem o ciclo trigonométrico em quatro arcos, cada qual contido em um quadrante.
        Um arco AP do ciclo trigonométrico, de medida x, com 0º  ≤ x < 360° ou 0 rad  ≤ x < 2π rad, tem a extremidade P pertencente a um dos quadrantes conforme as desigualdades:


P   ∈ QI, se e somente se, 0° < x < 90° ou 0 < x < π/2
P   ∈ QII, se e somente se, 90° < x < 180° ou π/2 < x < π
P   ∈ QIII, se e somente se, 180° < x < 270° ou  π < x < 3π/2
P   ∈ QIV, se e somente se, 270° < x < 360° ou 3π/2 < x < 2π

Arcos côngruos

     Dois arcos congruentes, ou côngruos, quando possuem a mesma extremidades. Convém trabalharmos com arcos da 1ª volta, do sentido positivo. Caso isso não ocorra, como por exemplo com 480°, determinamos o seu côngruo da 1º volta positiva.

       Uma forma mais simples de obtermos o esse resultado é dividir 480° por 360° para extrair o número de voltas. O resto da divisão é a medida do arco de mesma extremidade:

          Para medidas negativas, esse procedimento nos leva ao arco côngruos da 1ª "volta negativa". Daí basta somarmos 360° para chegarmos à 1ª "volta positiva"

Exemplo:

a) - 157°

     - 157° já está na 1ª volta negativa

     Daí, - 157° + 360° = 203°

     203° é a medida do arco da 1ª volta com a mesma extremidade que - 157°

Veja:

        - 157° = 203° - 1 . 360°

          Considerando β a medida de um arco, a expressão geral das medidas dos arcos côngruos a ele é dada por:

 

α + K . 360° (em graus) ou  α + K . 2π ( em radianos) onde α é a medida do arco côngruo da 1ª volta positiva e K ∈ Z. α é chamada de 1ª determinação positiva.

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Trigonometria no círculo

Trigonometria no círculo 

    Utilizando os conhecimentos de sen x, cos x e tg x, extraídos do triângulo retângulo, vamos ampliar nosso estudo aplicando esses conceitos em arcos.

Arco e circunferência é um segmento qualquer da circunferência, limitada por dois de seus pontos distintos.

 Medida e um arco

     Consideremos um arco AB e um arco unitário u (não-nulo e de mesmo raio). Ao compararmos o arco AB com o arco u cabe (ao determinarmos quantas vezes o arco u cabe no arco AB), estamos u. 
medindo o comprimento do arco AB na unidade

Na figura, u cabe seis vezes em AB.

Então: med (AB) = 6u

Lemos: a medida do arco AB é igual a seis na unidade u.                               

Unidades

Grau (°)

      Dividimos a circunferência em 360 partes e a cada arco unitário, que corresponde a  1 / 360 da circunferência, chamamos de grau.

      Então, a circunferência mede 360 graus, que indicamos por 360°.

      Os submúltiplos do grau são o minuto (' ) e o segundo ( " ).

      1 grau = 60 minutos                  1° = 60'

      1 minuto = 60 segundos            1' = 60"

Grado (gr)

       Dividimos a circunferência em 400 partes iguais e a cada unitário que corresponde a 1 / 400 da circunferência chamamos de grado.

      Então, a circunferência mede 400 grados, que indicamos por 400 gr

Radiano (rad)

      Radiano é um arco unitário cujo comprimento é igual ao comprimento do raio de circunferência no qual está contido.

       Uma circunferência de raio r = 1 possui como medida 2π  radianos ( 2π rad).

Relação entre as unidades 

Para fazer a conversão entre as unidades, podemos utilizar a relação:

Exemplos:

a) Para converter 120° em x radianos, montamos a regra de três:                                                 

                                                                                                                                                        

180° ---------- π rad                             onde x =  120°π , ou  seja, x = 2π  rad                            

120° ----------   x                                                   180°                          3                                     

                                                                                                                                                        

b) Para converter 5π  rad  em x graus, montamos a regra de três:                                                 

                             4                                                                                                                         

                                                                          5π . 180                                                                 

180° ---------- π rad                          onde x =     4         , ou seja, x = 225°                                  

x      ----------  5π   rad                                          π                                                                         

                        4                                                                                                                               

                                                                                                                                                         

Comprimento de arco

      Considerando uma circunferência com centro O e raio r, um ângulo central AOB de medida γ, em radianos, e correspondente arco AB contido nesse ângulo, podemos estabelecer a seguinte regra de três:

            r   -----------  1

med(AB) -----------  γ

         r         =   1 

  med(AB)       γ

r.γ = med(AB).1

     A medida do ângulo central AOB = γ, em radianos, é determinada pelo quociente entre o comprimento do arco AB e a medida do raio da circunferência que o contém.

r = diâmetro   = 20 cm   = 10 cm
          2                    2

Logo, a medida de γ, em radianos, é obtida por:

γ = med(AB)  ⇒  γ = 20 cm ⇒  γ = 2rad
            r                      10 cm            

Dever de casa

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Ternas pitagóricas

Ternas pitagóricas

   São os grupos de três números que satisfazem o Teorema de Pitágoras. são eles, 3,4 e 5 os mas comuns em nossos cálculos, mais alem destes podemos encontrar mais dois exemplos: 5,12 e 13 também 20,21 e 29 . As ternas pitagóricas chamaram a atenção dos antos. Uma pergunta sempre era feita: será que existem infinitas ternas pitagóricas, bom isso pode ser comprovado com o auxilio de uma calculadora, multiplicando os termos de uma terna pitagórica por um mesmo número.

  Obs: tendo o domínio destas três terna pitagóricas, tornar-se muito vantajoso na hora de resolver a maioria dos exercícios envolvendo triângulos retângulos sem precisar recorrer ao Teorema de Pitágoras,

Exemplos:

encontrando o numero multiplicador basta apenas multiplicar o termo faltante pelo mesmo multiplicar em comum para que o resultado possa ser encontrado.

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Ângulos notáveis : 30°,45° e 60°

Alguns ângulos, devido ao seu contante uso, merece um estudo especial. É o caso daqueles que medem 30° e 60°. Para tanto vamos considerar que um triângulo equilátero a mediana, a altura e a bissetriz relativamente a um mesmo ângulo interno coincidem.

Observe o triângulo equilátero ABC, cujo lados medem l e altura h.

Cálculo da Altura h ( aplicando o teorema de Pitágoras) no triângulo retângulo AMC

Cálculo do seno, cosseno e tangente de 30° e 60° 

Outro ângulo importante é o de 45°, Neste caso, vamos considerar um triângulo retângulo e isósceles ABC cujo catetos medem l e a hipotenusa mede x. Observe-o. 

Organizando os resultados, construímos a tabela abaixo:

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Exercício (Trigonometria)

1ª) Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2013
   As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

1ª questão com seno, cosseno e tangente – Enem 2013

Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço:

a) menor que 100m².

b) entre 100 m² e 300 m².

c) entre 300 m² e 500 m².

d) entre 500 m² e 700 m².

e) maior que 700 m².

Resolução:

Vamos analisar o triângulo formado pela inclinação desse prédio:

Triângulo vermelho formado pela inclinação da torre

Podemos considerar que a altura do prédio corresponde ao cateto oposto ao ângulo de 15°, já a base corresponde ao cateto adjacente. Sendo assim, podemos utilizar a fórmula da tangente para determinar essa base:

tg 15° =  cateto oposto
                 cateto adjacente

tg 15° =   x   
              114

Considerando que tg 15° = 0,26, como propõe o enunciado, temos:

0,26 =   x  

             114

x = 114 . 0,26

x = 29,64 m

Como a base do prédio é quadrada, basta multiplicar o valor do lado encontrado por ele mesmo para encontrar a área da base:

A = 29,64 . 29,64

A = 878,53 m²

A alternativa correta é a letra e.

2ª ) Questão com seno, cosseno e tangente no Enem de 2009

      Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

2ª questão com seno, cosseno e tangente – Enem 2013

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a ?

a) 50%

b) 43%

c) 37%

d) 33%

e) 19%

Resolução:

A área total de extração do terreno corresponde a um quarto de círculo de raio de 1 km, cujo ângulo central é de 90°. Se os irmãos pretendem dividir a área de extração de forma igualitária, então o ângulo central do terreno de cada herdeiro deverá ser de 30°, uma vez que 90 dividido por três 3 é igual a 30. Vamos então analisar a figura que representa o terreno de João:

Terreno de João

Nós conhecemos apenas um dos lados do terreno de João, o cateto adjacente ao ângulo de 30°. Para que possamos calcular a área desse triângulo, é importante encontrar a medida do cateto oposto ao ângulo de 30°. Para tanto, vamos utilizar a fórmula para o cálculo da tangente:

tg 30° = cateto oposto
cateto adjacente

tg 30° = x
               2

√3 = x
3      2

Utilizando a informação cedida pelo exercício, substituiremoss por 0,58:

0,58 = x
            2

x = 0,58 . 2

x = 1,16 km

Agora podemos calcular a área do terreno de João. Para isso, considere 2 km como a altura do triângulo e 1,16 km como sua base:

A = base . altura
2

A = 2 . 1,16
       2

A = 1,16 km²

Para encontrar a área total do terreno deixado de herança pelo pai, basta multiplicar a base pela altura do retângulo da primeira imagem, isto é, 3 . 2 = 6 km². Para calcular a porcentagem correspondente a João, devemos encontrar o quociente entre as áreas do terreno dele e do terreno total, isto é:

P = 1,16 = 0,19333... = 19,3%

6                             

Portanto, a alternativa que apresenta a porcentagem correta é a letra e

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