📘Função Modular

Função Modular – Parte 1

 (Definição e Propriedades Fundamentais)

🧠 O que é a função modular?

A função modular, também chamada de função valor absoluto, está presente em muitos problemas de Matemática e tem uma aplicação direta em situações que envolvem distância, variação e simetria.
A definição mais comum é:

$$f(x) = |x|$$

Essa função devolve o valor absoluto de um número, ou seja, sua distância até o zero na reta real, sem considerar o sinal.

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🔎 Definição formal:

$$|x| = \begin{cases} x, & \text{se } x \geq 0 \\ -x, & \text{se } x < 0 \end{cases}$$

Exemplos rápidos:

• $|5| = 5$

• $|-7| = 7$

• $|0| = 0$

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🧱 Principais Propriedades do Módulo

Estas propriedades ajudam a resolver expressões e manipular equações com módulos. Memorizar e entender essas relações é essencial:

1. Multiplicação

$$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$$

2. Divisão

$$\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}, \quad \text{com } b \neq 0$$

3. Quadrado do módulo

$$|a|^2 = a^2$$

4. Módulo da soma (Desigualdade triangular)

$$|a + b| \leq |a| + |b|$$

5. Módulo da diferença

$$|a - b| = |b - a| \quad \text{(simétrico)}$$

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💬 Interpretação geométrica

Imagine a reta numérica.

• O número $3$ está a três unidades do zero.

• O número $-3$ também está a três unidades do zero.

Ambos têm o mesmo valor absoluto:

$$|3| = 3 \quad \text{e} \quad |-3| = 3$$

Isso mostra que o módulo representa a distância até o zero, nunca negativa.

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🧪 Pratique um pouco:

1. $|-12| =$ ___

2. $|7 \cdot (-2)| =$ ___

3. $|3 - 10| =$ ___

4. $\left| \dfrac{-8}{2} \right| =$ ___

5. Se $|x| = 5$, quais são os possíveis valores de $x$?

6. Mostre que $|a - b| = |b - a|$ com $a = 4$ e $b = 9$