Exercícios

1) Considerando o triângulo equilátero de lado m, determine

a) a altura h

b) sen 30°

c) cos 30°

d) tg 30°

e) sen 60°

f) cos 60°

g) tg 60°

2) Dados o quadrado de lado a, calcule:

a) a diagonal d

b) sen 45°

c) cos 45°

d) tg 45°

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Triângulo quaisquer

Triângulo quaisquer

Para desenvolver o estudo sobre as relações trigonométricas num triângulo qualquer é importante rever como se classificam os triângulos quanto às medidas dos lados e ângulos.

equilátero (se os três lados tiverem medidas iguais)

isósceles (se dois tiverem medidas iguais)

escaleno (se os três lados tiverem medidas diferentes)

Quanto aos ângulos, o triângulo pode ser:

acutângulo (se tiver três ângulos agudos)

retângulo (se tiver um ângulo reto)

obtusângulo (se tiver um ângulo obtuso)

Teoremas dos senos

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Operações com arcos e transformações em produto

Fórmulas de adição e subtração de arcos

As fórmulas que estudaremos a seguir, nos permitem calcular as funções trigonométricas do tipo soma (a + b) ou diferença (a – b) de arcos, representadas por números reais.

Seno da soma

Seno da diferença

Para obter sen (a – b) basta fazer sen [a + (-b)] 

e aplicar a fórmula do sen (a+b): sen [ a + (-b)] = sen a . cos (-b) + sen ( - b) . cos a

                    sen (-b) = - sen b

  Sendo :

                    cos (-b) = cos b

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Equações trigonométricas

Equações trigonométricas são aquelas que envolvem as funções trigonométricas em seus membros.

Como as equações trigonométricas possuem uma gama muito grande de variantes, vamos fazer o estudo dos principais tipos.
Salvo indicação em contrário, usaremos x como incógnita.

Equação do tipo: sen x = sen α

Para esse tipo de equação vamos fazer duas considerações:

• Quando as extremidades dos arcos de medidas x e α são coincidentes no ciclo trigonométrico, ou seja: x = α + k . 2π (k ∈ Z).

        No ciclo trigonométrico:

• Quando as extremidades dos arcos de medidas x e α são simétricas em relações ao eixo das ordenadas,ou seja: x = π - α + k . 2π.

         No ciclo trigonométrico:

Equação do tipo: cos x = cos α

Considerações:

• Quando as extremidades dos arcos de medidas de x e α são coincidentes no ciclo trigonométrico, ou seja: x = α + k . 2π.(k ∈ Z).

• Quando as extremidades dos arcos de medidas de x e α são simétricas em relação ao eixo das abscissas, ou seja x = -α + k . 2π.(k ∈ Z).

Equação do tipo: tg x = tg α

Considerações:

• Note que no ciclo trigonométrico as extremidades dos arcos de medidas x e α possuem o mesmo valor para a tangente, ou seja:

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Redução ao 1º Quadrante

Múltiplos de 30°, 45° e 60°

Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 45°

         Os arcos múltiplos de 45° (mas não de 90°) possuem o valor numérico do seno e cosseno iguais ao seno e cosseno de 45°, respectivamente, com o sinal correspondente a cada quadrante.

Dividindo o ciclo trigonométrico em oito "ascos iguais", obtemos os valores:

Seno e cosseno dos arcos múltiplos de 30°

   Obtermos os arcos múltiplos de 30° e 60° dividindo a circunferência em 12 "arcos iguais" e, em seguida, encontramos o seno e cosseno desses arcos, dos quais destacamos aquele que não têm extremidade em um dos eixos.

Redução ao 1° quadrante

           Considerando um arco x (x não pertencente ao 1° quadrante), reduzir esse arco ao 1° quadrante, através de uma fórmula, com  o objetivo de conhecer senx, cos x e tg x.

           Ao reduzir um arco do 2°, 3° ou 4° quadrantes para o 1° estamos simplificando o estudo de trigonometria, pois as funções trigonométricas terão o mesmo valor absoluto para esses arcos.

Arcos suplementares 

Dois arcos são suplementares quando a soma de suas medidas resulta 180°. 

Exemplos:

a) 120° e 60° ⇒ 120° + 60° = 180°

b) x e π - x  ⇒ x + π - x =  π 

Redução do 2° para o 1° quadrante.

No ciclo trigonométrico

Sejam os arcos:

• x (do 1° quadrante)
• (π - x) (do 2° quadrante)

Sendo os pontos B e C simétricos com relação ao eixo dos senos, eles têm ordenadas iguais e abscissas opostas.

Conclusão a partir do ciclo trigonométrico: 

Arcos explementares

Dois arcos são explementares quando suas medidas diferem de 180°.

Exemplos:

a) 225° e 45° ⇒ 225°- 45° = 180°

b) (π + x) e x ⇒ π + x - x =  π

No ciclo trigonométrico

Redução do 3° para o 1° quadrante

Sejam os arcos:

• x (do 1° quadrante)
• (π + x) (do 3° quadrante)

Sendo os pontos B e C simétricos em relação ao centro O da circunferência (diametralmente opostos), eles têm ordenadas opostas e abscissas opostas.

 Conclusão a partir do ciclo trigonométrico

Arcos replementares

Dois arcos são replementares quando a soma da sua medida resulta 360°.

Exemplos:

a) 300° e 60° ⇒ 300° + 60° = 360°

No ciclo trigonométrico

b) (2π - x) e x  ⇒  2π - x + x = 2π

Redução do 4° para o 1° quadrante

Sejam os arcos:

• x (do 1° quadrante)
• (2π - x) (do 3° quadrante)

Sendo os pontos B e C simétricos com relação ao eixo dos cossenos, eles têm ordenadas opostas e

abcissas iguais.

Conclusão a partir do ciclo trigonométrico:

Arcos complementares 

Dois arcos são complementares quando a soma de suas medidas dor igual a 90°.

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