Função logarítmica

    Função logarítmica

Conceito

5 . Equações logarítmicas

  Seja a função exponencial y = a^x, com a > 0 e a ≠ 1. A sua inversa chama-se função logarítmica e indica-se y = log_a x.

Características

Conjunto domínio

O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais estritamente positivos.

D (f) = R*+

Conjunto imagem

O conjunto imagem da função logarítmica é o conjunto dos números reais.

Im(f) = R

Gráfico

Quanto ao gráfico da função logarítmicas y = log_a x temos dois casos a considerar:

Exemplos:

Observe a construção dos gráficos cartesiano a partir das funções dadas abaixo:

a) y =  log₂ x 

b)  y =  log_½ x 

Solução:
a) y =  log₂ x 

b)  y =  log_½ x 

Comparando as inversas

As funções exponencias e logarítmica são funções inversas.

Função exponencial                                                     Função inversas.

         y = a^x                                                                         y = log_a x 

Domínio: D(f) = R                                                       Domínio: D(f) = R*+
Imagem: Im(f) = R*+                                                   Imagem: Im(f) = R

Observamos que os gráficos de a^x e log_a x são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrante.

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Relação entre coeficientes e raízes da equação

Principais elementos da parábola

•

Vértice: é o ponto de coordenadas

(

X v

=

-b

;

Y v

=

-∆

)

2.a

4.a

•

Eixo de simetria: é como se fosse um espelho, divide a parábola em dois ramos

simétricos e passa pelo vértice da parábola;

•

Intersecção com o eixo-y : é ponto (0, c), pois na função y = a.x2 + b.x + c, para x = 0,

temos y = a.0² + b.0 + c = 0 + 0 + c = c

Relação entre coeficientes e raízes da equação a.x2 + b.x + c = 0 com a ≠ 0

Existindo zeros reais tal que:

Portanto, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola

(parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade.

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Raízes ou zeros da função quadrática

Raízes ou zeros da função quadrática f(x) = a.x² + b.x + c

São os valores de x que anulam a função e representam as abscissas dos pontos

onde a parábola (gráfico de f) corta o eixo-x.

Determinação dos Zeros da Função Quadrática

A fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2º grau

ax² + bx + c = 0 é a fórmula de Bhaskara : x =

-b ±√∆

, onde ∆ = b² – 4.a.c

2.a

(discriminante).

Observações:

1) Quando ∆ > 0,

A função f(x) = ax² + bx + c

tem dois zeros reais diferentes

(a parábola intersecta o eixo x em

dois pontos distintos).

1) Quando ∆ = 0,

A função f(x) = ax² + bx + c

tem dois zeros reais duplo

(a parábola intersecta o eixo x em

um só pontos).

1) Quando ∆ < 0,

A função f(x) = ax² + bx + c

não tem zeros reais

(a parábola não intersecta o eixo x )

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