Equações logarítmicas

Logaritmo

5 . Equações logarítmicas

 

  São aquelas que apresentam a incógnita no logaritmando ou na base do logaritmo.

   As equações logarítmicas podem ser apresentar em três tipos principais:

1º tipo:   Aquelas em que aplicamos apenas a definição de logaritmo para sua resolução.


Exemplos:

Determinar o conjunto solução das seguintes equações logarítmicas:

a) log₅ (log₂ x) = 0
b) log_x (x + 6) = 2
c) log₃ (2x - 1) = 4

Solução:

a) log₅ (log₂ x) = 0 
 Aplicando a definição, dua vezes, obtemos a solução desta equação.
log₅ (log₂ x) = 0          Condição de existência (C.E) x > 0
      ➘______➚

log₂ x = 5º 
log₂ x = 1
x = 2¹
x = 2   ➠ S = {2}

b) log_x (x + 6) = 2
Inicialmente vamos aplicar a definição do logaritmo e, em seguida, resolver a equação do 2º grau.
log_x (x + 6) = 2             C.E.  x + 6 > 0  e 1 ≠ x > 0

x² = x + 6
x² - x - 6 = 0  Equação do 2º grau
a = 1, b = -1 e c = - 6

△ = ( - 1)² - 4 . 1 . (-6) = 25

x'  = (1 - 5) ÷ 2 = -2  → ( não convém, pois contraria a C.E, x > 0 )

x'  = (1 + 5) ÷ 2 = 3

V = {3}

c) log₃ (2x - 1) = 4
Aplicamos a definição de logaritmo, obtemos a solução desta equação.
log₃ (2x - 1) = 4                      C.E. 2x - 1 > 0  onde  x > ½
2x - 1 = 3⁴
x = (81 + 1)
            2
x = 41
V = {41}


2º tipo:  Aquelas em que aplicaremos as propriedades do logaritmo para a solução.
Exemplo:
Determinas o conjunto solução da equação logarítmica:
log₃ (x + 7) + log₃ (x - 1) = 2.

Inicialmente aplicaremos a propriedade de logaritmo do produto, ou seja:
log₃ (x + 7) + log₃ (x - 1) = 2    C.E | x + 7 > 0 e x - 7 > 0
log₃ [(x + 7) . ( x - 1)] = 2                 | x > -7 e x > 1

Em seguida, vamos aplicar a definição do logaritmo e resolver a equação do 2º grau.

(x + 7) . ( x - 1) = 3²
x² + x + 7x - 7 - 9 = 0 
x² + 6x - 16 = 0
a = 1, b = 6 e c = -16
△ = 36 + 64
△ = 100
                          x' = -8 (não convém)
x =   -6 ± 10  ➚
              2      ➘ x" = 2
                            
V = {2}

3º tipo:  Aqueles em que aplicamos a mudança de base par a resolução.

Exemplo:

Determinar o conjunto solução da equação logarítmica:
log₄ x + log₂ x = 6   C.E. x > 0
1º passo: Deixar os logaritmos na mesma base: para isso vamos mudar
               log₄ x para base 2.
               log₄ x =   log₂ x   =   log₂ x  
                               log₂ 4           2

2º passo: Substituir   log₂  x    na equação e fazer a mudança de variável.
                                          2
                log₂ x   +   log₂ x = 6
                    2
             Fazendo   log₂ x  = n temos:  n     +    n  = 6
                                                       2
3º passo: Resolver a equação do 1º grau e determinar o valor de x.

           n   +   n  =   6   
          2        1       1
          n + 2n   =   12 
              2            2
          3n = 12  ➜ n = 4  sendo log₂ x  = n, então:
                                                    log₂ x  = 4 ⇒ x = 2⁴  ⇒ x = 16
                                                    V = {16}