Somando os termos das Progressões Geométricas

Progressão geométricas ( PA )

Somando os termos das Progressões Geométricas

Temos no caso geral a formula da soma dos n termos de uma

progressão geométrica.

sn =

a1 ( qn -1 )

q - 1

Uma indústria iniciou suas atividades produzindo 5.000 objetos

por ano e, a cada ano, a produção aumentou em 10% em relação ao ano

anterior. Qual foi o total de objetos produzidos em 10 anos de

atividade?

SOLUÇÃO:

Repare que se, em um ano qualquer, a produção foi de x objetos, então,

no ano seguinte, será de:

x + 10% de x =

x+

10

.x =

100

x + 0,1.x =

x( 1 + 0,1) =

x.1,1

Assim, se a produção em um ano é igual à do ano anterior multiplicada

por 1,1, temos que as produções anuais formam uma progressão geométrica

de razão 1,1.

a1 = 5,000

a2 = 5,000 . 1,1

a3 = 5,000 . 1,1²

…...........etc.

Para calcular o número total de objetos produzidos em 10 anos, usamos

nossa fórmula com a1 = 5000 q = 1,1 e n = 10.

S =

5000 (1,110 – 1)

(1,1 - 1)

O numero (1,1)10 é calculado com auxilio da maquina de calcular, como

Observando que devemos fazer uma aproximação do resultado que vemos

no visor, porque o número de casa decimais já é grande demais.

Temos então:

S =

5000 (2,5937 – 1)

(1,1 - 1)

S =

5000 . 1,5937

0,1

S = 79685

Essa indústria produziu, em 10 anos de atividade, aproximadamente 79.690

objetos. Repare que, no cálculo de 1,110, nossa aproximação foi para

menos. Então, o número real de objetos produzidos foi, certamente, um

pouco superior ao calculado. Portanto, o número 79.690 é uma estimativa,

que sabemos estar próxima da realidade.

Progressão aritmética ( PA )