Interpolação Geométrica

Progressão Geométricas ( P.G. )

INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA

Vamos aprender a intercalar números reais entre dois números dados,

de tal forma que todos passem a constituir uma P.G.

Seja q(q ≠ 0) a razão de uma P.G. e x uma número real, podemos

formar uma P.G de três termos:

Representação de

⇔

(

x

, x , x.q

)

três termos em P.G:

q

Exemplo:

Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.

Temos:

a1 = 3; a5 = 48; n 3 + 2 = 5

(3, ___ ,___, ____, 48) -

Devemos, então, calcular a razão:

an = a1 .qn-1

⇒

3.q4 = 48

q4 =

48

48 = 3.q5-1

3

q = ± 4√16

∴

q = 2

Então, teremos:

Para q = 2 ⇒ (3,6,12,24,48);

Para q = -2 ⇒ (3,-6,12,-24,48).

Exemplo:

Vamos achar três números em PG, crescente, sendo 31 a sua soma

e 125 o seu produto.

leitura do problema:

{

P.G. crescente S3 = 31, P3 = 125

P.G. = ?

Usando a representação de três termos de um P.G:

{

x

+

x + xq = 31

(1) – soma

q

x

.

x . xq = 125

(2) – Produto

q

x² = 125 ⇒ x = 5

Substituindo x = 5 em (1)

x

+

x + xq = 31

q

5

+

5 + 5q = 31

q

5 + 5q + 5q²

=

31q

q

q

5q² – 26q + 5 = 0

⇒

q =

26 ± √576

10

{

q¹ =

26 + 24

=

5

10

q² =

26 ± √576

=

2

=

1

10

10

5

Devemos considerar somente a solução q = 5, pois a P.G.

é crescente.

Substituindo x = 5 e q = 5 nas expressões

x

, x , xq

q

Temos:

5

, 5 , 5.5

∴ P.G (1, 5, 25)

5

Progressão geométricas ( P.G. )