Progressão Geométricas ( P.G. )

Progressão Geométricas ( P.G. )

Definição:

Progressão geométrica (ou simplesmente PG) é uma sequência

de números não nulos em que cada um deles, multiplicado por um número

fixo, fornece o próximo elemento da sequência Esse número fixo

chama-se razão, e os elementos da sequência são os termos da

progressão geométrica. Por exemplo, vamos obter os termos de uma

progressão geométrica de razão 2, partindo do número 3.

Observe como o crescimento é rápido. Os termos da progressão geométrica são

representados, como em qualquer sequência, por a1, a2, a3, ..... , an, e a

razão será representada pela letra q. Assim, no exemplo anterior, temos a1=3,

a2=6, a3=12 etc. e q = 2.

Se cada termo da PG multiplicado pela razão dá o termo seguinte, então podemos

afirmar que:

A razão ( q ) de uma P.G é qualquer termo dividido pelo termo anterior.

Verifique:

No exemplo dado acima a razão dada equivale a 2. Para provar que a razão dessa

progressão geométrica Vale 2, podemos dividir um termo pelo seu anterior. Veja.

6

=

2

,

12

=

2

,

96

=

2

2

6

48

Pode-se perceber que qualquer termo dividido pelo seu anterior em uma P.G dará

a mesma Razão

Representação de uma P.G.

A representação matemática de uma progressão geométrica (P.G.) é:

( a1, a2, a3, …, an, an-1, …,)

logo:

a2

=

a3

=

…

a(n-1)

=

q

a1

a2

an

ou

a(n-1) = an . q ∀ n ∈ N* e q ∈ R

Exemplo:

Escreva uma P.G. de cinco termos em que a1 = 2 e q = 3.

Solução:

a1 = 2

a2 = a1

. q = 2.3 = 6

a3 = a2

. q = 6.3 = 18

a4 = a3

. q = 18.3 = 54

a5 = a4

. q = 54.3 = 162

A PG pedida é (2, 6, 18, 54, 162)

Observação:

razão (q) = termo qualquer dividido pelo termo anterior

A taxa de crescimento relativo de uma grandeza é dada pela razão

entre o seu aumento e seu valor inicial. Assim, uma grandeza que

passa do valor a1 para o valor a2 tem taxa de crescimento relativo

igual a

a2 –a1

a1

Exemplo:

Por exemplo, a taxa de crescimento relativo de uma grandeza que passa

do valor 5 para o valor 8 é igual a 60%,

pois

8 – 5

=

3

=

0,60

=

60%

5

5

Progressão geométricas ( P.G. )