Permutação com elementos repetidos

Contagem e Probabilidade

Permutação com elementos repetidos

De modo geral, o número de permutações de n objetos, dos

quais n1 são iguais a A, n2 são iguais a B, n3 são iguais a C

etc, é dado por:

Pn

n1,n2 n3, … , nk

=

n!

n1,n2 n3, … , nk

(n є N e n1,n2 n3, … , nk є N*)

Exemplo:

1) Quantos anagramas podem ser formados com as letras

da palavra NATA?

Resolução:

Se todas as letras fossem distintas, teríamos 4! permutações.

Como temos uma letra repetida, esse número será menor, visto

que uma permutação entre letras repetidas não produz nova palavra

Vamos colocar índices nas letras repetidas para visualizar o que

acontece. Assim NA1TA2, NA2TA1, que seriam diferentes se

A1 ≠ A2 , são, na verdade, iguais quando retiramos os índices, ou

seja, o resultado deve ser dividido por 2, pois duas palavras são

contadas apenas uma vez.

Então o número de palavras distintas que podem ser formadas

por permutação das letras de NATA é igual a

a

4!

=

4 . 3 . 2 . 1

=

12 Palavras

2

2

2) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da

palavra BALADA?

Resolução:

Nesse caso temos 3 letras A que, se fossem letras distintas

Teríamos 6! permutações, mas todas as permutações de A1A2A3

que são 3! = 6, produzem a mesma palavra.

Então temos:

6!

=

6.5.4.3.2.1

=

120 palavras

3!

3.2.1

3) Quantos números de 7 algarismos podem ser formados

usando os algarismos 2,2,2,3,3,4 e 5?

Resolução:

Se todos os algarismos fossem distintos, teríamos

P7 = 7! números.

Porém, como temos três 2 e dois 3, teremos um

número menor representado por

P7

-3,2

=

7!

=

7 . 6 . 5 . 4 . 3!

=

420 números

3! . 2!

3! . 2 . 1

Contagem e Probabilidade