Combinações simples

Contagem e Probabilidade

Combinações simples

Dados o conjunto {a1, a2, … , an} com n objetos distintos, podemos formar sub-

conjuntos com p elementos. Cada subconjunto com i elementos é chamado

combinação simples

Representamos por Cn,p o número de combinações de n objetos tomados

p a p. Por exemplo, as combinações simples de 3 dos 4 objetos a1 a2 a3 a4 são:

{a1, a2, a3,} {a1, a2, a4} {a1, a3, a4} {a2, a3, a4}

Assim: C4,3 = 4

Analisando essa resposta: a escolha do 1º elemento da combinação pode ser

Feita de 4 modos; a do 2º, de 3 modos e a do 3º, de 2 modos. A resposta parece

Ser 4 x 3 x 2 = 24. Entretanto, se pensarmos em uma combinação, por exemplo

{a1, a2, a3}, verificamos que as combinações {a1, a2, a3}, {a1,a3,a2} {a2,a1,a3} etc.

São idênticas e foram contadas como se fossem diferentes. Portanto, na resposta

24 estamos contando cada combinação uma vez para cada ordem de escrever

seus elementos.

Como em cada combinação os elementos podem ser escritos em p3 =3!=6

ordens, cada combinação foi contada 6 vezes. Logo. A resposta é

24

=

4.

6

Genericamente, temos:

C

=

n(n-1)...(n-p+1)

⇒

0 ≤ p ≤ n.

n,p

p!

Multiplicando o numerador e o denominador por (n-p)!, obtemos:

C

=

(

n

)

=

n!

0 ≤ p ≤ n

n,p

p

p!(n – p)!

C

=

(

n

)

é chamado número binomial

n,p

p

Exemplo:

1) Quantos diagonais possui um polígono convexo de 9 lados?

Resolução:

O número de seguimentos que têm

extremidades no vértices do polígono é:

C

=

9!

=

9.8.7!

=

36

9,2

2!(9-2)!

2!7!

Desses seguimentos, 9 são lados e,

portanto o número de diagonais é

36 – 9 = 27

2) Calcule o número de comissões compostas de 3 alunos que podemos

formar a partir de um grupo de 5 alunos.

Resolução:

Cada comissão difere das outras apenas pela natureza.

Assim, o número de comissões é:

C

=

5!

=

5!

=

5.4.3!

=

10

5,3

3!(5-3)!

3!2!

3!2!

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