Exercício de Função quadrática

Exercício de Função quadrática

  1) (UFC-CE) Uma espécie animal, cuja família inicial era de 200 elementos, foi testada num laboratório sob a ação de uma certa droga e constatou-se que a lei de sobrevivência entre tal família obedecia à relação n(t) = at² + b, onde n(t) é igual ao número de elementos vivos no tempo t (dado em horas) e a e b, parâmetros que dependiam da droga ministrada. Sabe-se que a família desapareceu (morreu o último elemento) quando t = 10h (após o início da experiência). Calcule quantos elementos tinha esta família após 8 horas do início da experiência.

Resposta:A primeira informação nos mostra que, quando t=0 (ou seja, antes da experiência), o número n(t) de animais era 200, dai temos a seguinte equação: 

200=a.0²+b 

b=200 

A segunda informação que temos é, quando t=10, o numero n(t) de animais era igual a zero (todos morreram no fim). Daí, temos: 

0 = a.10² + b 

Porém, como já descobrimos que b=200, ficamos assim: 

0 = a.10² + 200 

0 = 100a + 200 

-100a = 200 

a = 200 / -100 

a = -2 

Logo, a equação completa da sobrevivência dos animais é: 

n(t) = -2t² + 200 

Ele quer saber quantos elementos da família haviam vivos após oito horas de experiência, assim, é só substituir na equação o valor de t por 8. Ficamos com: 

n(8) = -2.8² + 200 = -2.64 +200 = -128 + 200 = 72 

Resposta: 72 animais vivos após 8 horas de experiência!

   2) O impacto de colisão I (energia cinética) de um automóvel com massa m e velocidade v é dado pela fórmula: 

I = kmv² 

Se a velocidade triplica, o que acontece ao impacto de colisão de um carro de 1 000 kg?

Resposta: Como I é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade, se a velocidade aumenta 3x, I aumentará 9 vezes

  3) O dono de uma loja de brinquedos vendia cada boneca por R$ 20,00; com esse preço conseguia vender, em média, 30 bonecas por dia. Fazendo algumas promoções percebeu que, para cada real que tirava do preço de uma boneca, a venda diária aumentava em 5 bonecas.

      Determine qual deve ser o preço de cada boneca para que o lucro diário seja o maior possível e qual é esse lucro.

Resposta:

A cada vez que o comerciante diminui 1 real no preço da boneca, que

custa R$ 20,00,ele aumenta 5 x 1 real na quantidade de bonecas vendidas

Então, o lucro máximo dele adviria da seguinte multiplicação:

f(x) = (30+5x).(20-x)

f(x) = 600 - 30x + 100x - 5x²

ordenando e efetuando as operações indicadas, temos:

f(x) = -5x² + 70x + 600

Teremos portanto a seguinte equação do 2º grau

-5x² + 70x + 600 = 0 ⇒ dividindo tudo por (-5), temos:

x² - 14x - 120 = 0

Veja que o "x" máximo será obtido, quando "x"

assumir o vértice. Então, o "x" assumirá o vértice,quando:

Xv =

-b

Xv =

-(-14)

onde,

Xv =

7

2.a

2.1

Então, quando "x" for igual a 7, as quantidades vendidas e os

respectivos preços seriam:

Vendas: 30 + 5 . 7 = 30 + 35 = 65

Preço: 20 - 7 = R$ 13,00

E o lucro seria, então: 65 . 13 = 845

   4) De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro cantos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou, em função de x.

Resposta: Já que a área de uma quadrado é x², logo 4 quadrados de lado x é 4x². 

E também 30 x 20= 600 cm² que é a área geral da folha retangular.

Assim, a área que sobrou em função de x é: 600 - 4x²